Номер 73, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

5. Практико-ориентированные задачи. Параграф 2. Приложения математики в реальной жизни. Глава 1. Числа и вычисления - номер 73, страница 25.

Условие.

73. Упростите выражение:

Решение 1.

Решение 8.

а)

Данное выражение: $ \left( \frac{a - 3}{a^2 - 3a + 9} - \frac{6a - 18}{a^3 + 27} \right) : \frac{5a - 15}{4a^3 + 108} $.

1. Сначала упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби $ a^3 + 27 $ можно разложить на множители по формуле суммы кубов: $ a^3 + 3^3 = (a + 3)(a^2 - 3a + 9) $. Знаменатель первой дроби $ a^2 - 3a + 9 $ является частью этого разложения.

Общий знаменатель для дробей в скобках — $ a^3 + 27 $. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ (a + 3) $:

$ \frac{a - 3}{a^2 - 3a + 9} = \frac{(a - 3)(a + 3)}{(a + 3)(a^2 - 3a + 9)} = \frac{a^2 - 9}{a^3 + 27} $.

Теперь выполним вычитание дробей в скобках:

$ \frac{a^2 - 9}{a^3 + 27} - \frac{6a - 18}{a^3 + 27} = \frac{(a^2 - 9) - (6a - 18)}{a^3 + 27} = \frac{a^2 - 9 - 6a + 18}{a^3 + 27} = \frac{a^2 - 6a + 9}{a^3 + 27} $.

Числитель $ a^2 - 6a + 9 $ является полным квадратом разности: $ (a - 3)^2 $.

Таким образом, выражение в скобках упрощается до $ \frac{(a - 3)^2}{a^3 + 27} $.

2. Упростим делитель $ \frac{5a - 15}{4a^3 + 108} $. Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{5(a - 3)}{4(a^3 + 27)} $.

3. Выполним деление. Деление на дробь — это то же самое, что и умножение на обратную ей дробь:

$ \frac{(a - 3)^2}{a^3 + 27} : \frac{5(a - 3)}{4(a^3 + 27)} = \frac{(a - 3)^2}{a^3 + 27} \cdot \frac{4(a^3 + 27)}{5(a - 3)} $.

Сократим одинаковые множители $ (a^3 + 27) $ в числителе и знаменателе, а также один множитель $ (a - 3) $:

$ \frac{(a - 3) \cdot (a - 3)}{1} \cdot \frac{4}{5(a - 3)} = \frac{4(a - 3)}{5} $.

Ответ: $ \frac{4(a - 3)}{5} $

б)

Данное выражение: $ \frac{ab^2 - a^2b}{a + b} \cdot \frac{a + \frac{ab}{a - b}}{a - \frac{ab}{a + b}} $.

1. Упростим первый множитель, вынеся за скобки общий множитель $ ab $ в числителе:

$ \frac{ab^2 - a^2b}{a + b} = \frac{ab(b - a)}{a + b} $.

2. Упростим второй множитель, который представляет собой сложную дробь. Для этого преобразуем его числитель и знаменатель.

Упростим числитель сложной дроби:

$ a + \frac{ab}{a - b} = \frac{a(a - b)}{a - b} + \frac{ab}{a - b} = \frac{a^2 - ab + ab}{a - b} = \frac{a^2}{a - b} $.

Упростим знаменатель сложной дроби:

$ a - \frac{ab}{a + b} = \frac{a(a + b)}{a + b} - \frac{ab}{a + b} = \frac{a^2 + ab - ab}{a + b} = \frac{a^2}{a + b} $.

Теперь второй множитель имеет вид:

$ \frac{\frac{a^2}{a - b}}{\frac{a^2}{a + b}} = \frac{a^2}{a - b} \cdot \frac{a + b}{a^2} $.

Сократив $ a^2 $, получим: $ \frac{a + b}{a - b} $.

3. Перемножим упрощенные части выражения:

$ \frac{ab(b - a)}{a + b} \cdot \frac{a + b}{a - b} $.

Так как $ b - a = -(a - b) $, мы можем переписать выражение следующим образом:

$ \frac{-ab(a - b)}{a + b} \cdot \frac{a + b}{a - b} $.

Теперь сократим общие множители $ (a - b) $ и $ (a + b) $ в числителе и знаменателе:

$ -ab $.

Ответ: $ -ab $