Номер 77, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

6. Точность представления действительных чисел в виде десятичных дробей. Число n. Параграф 2. Приложения математики в реальной жизни. Глава 1. Числа и вычисления - номер 77, страница 28.

Условие.

77. Если радиус круга увеличить в 2 раза, а затем уменьшить на 1 см, то его площадь увеличится на π см². Найдите радиус круга.

Решение 1.

Решение 8.

Обозначим первоначальный радиус круга как $r$ (в см). Тогда первоначальная площадь круга, $S_1$, вычисляется по формуле: $S_1 = \pi r^2$.

Согласно условию задачи, радиус сначала увеличили в 2 раза, и он стал равен $2r$. Затем его уменьшили на 1 см, так что новый радиус, $r_2$, стал равен $2r - 1$. Поскольку радиус должен быть положительной величиной, должно выполняться условие $r_2 > 0$, то есть $2r - 1 > 0$, откуда $r > 0.5$ см.

Новая площадь круга, $S_2$, с новым радиусом $r_2$ равна: $S_2 = \pi r_2^2 = \pi (2r - 1)^2$.

В задаче сказано, что новая площадь стала на $\pi$ см? больше первоначальной. Это можно записать в виде уравнения: $S_2 - S_1 = \pi$.

Подставим выражения для $S_1$ и $S_2$ в это уравнение: $\pi (2r - 1)^2 - \pi r^2 = \pi$.

Разделим обе части уравнения на $\pi$: $(2r - 1)^2 - r^2 = 1$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $(4r^2 - 4r + 1) - r^2 = 1$.

Приведем подобные слагаемые: $3r^2 - 4r + 1 = 1$.

Вычтем 1 из обеих частей уравнения: $3r^2 - 4r = 0$.

Вынесем общий множитель $r$ за скобки: $r(3r - 4) = 0$.

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два возможных значения для $r$: $r = 0$ или $3r - 4 = 0$.

Первый корень $r = 0$ не подходит, так как радиус круга должен быть положительным числом. Решим второе уравнение: $3r = 4$ $r = \frac{4}{3}$.

Это значение $r = \frac{4}{3}$ см (или $1\frac{1}{3}$ см) удовлетворяет ранее найденному условию $r > 0.5$ см.

Ответ: $\frac{4}{3}$ см.