Номер 81, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 1. Параграф 2. Приложения математики в реальной жизни. Глава 1. Числа и вычисления - номер 81, страница 29.

Условие.

81. Сколько целых чисел расположено между числами:

Решение 1.

Решение 8.

а) Чтобы найти количество целых чисел между числами $-5\sqrt{6}$ и $\sqrt{83}$, оценим их значения.
Для первого числа внесем множитель 5 под знак корня: $-5\sqrt{6} = -\sqrt{5^2 \cdot 6} = -\sqrt{25 \cdot 6} = -\sqrt{150}$.
Найдем ближайшие к 150 квадраты целых чисел: $12^2 = 144$ и $13^2 = 169$.
Поскольку $144 < 150 < 169$, то $12 < \sqrt{150} < 13$. Следовательно, $-13 < -\sqrt{150} < -12$.
Теперь оценим второе число, $\sqrt{83}$.
Ближайшие к 83 квадраты целых чисел: $9^2 = 81$ и $10^2 = 100$.
Поскольку $81 < 83 < 100$, то $9 < \sqrt{83} < 10$.
Мы ищем все целые числа $n$, которые удовлетворяют неравенству $-12.25 \approx -5\sqrt{6} < n < \sqrt{83} \approx 9.1$.
Это целые числа от -12 до 9 включительно.
Чтобы найти их количество, вычтем из большего числа меньшее и прибавим 1: $9 - (-12) + 1 = 9 + 12 + 1 = 22$.
Ответ: 22

б) Найдем количество целых чисел между $3\sqrt{3}$ и $4\sqrt{11}$.
Оценим значение $3\sqrt{3}$: $3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$.
Так как $5^2 = 25$ и $6^2 = 36$, то $5 < \sqrt{27} < 6$.
Оценим значение $4\sqrt{11}$: $4\sqrt{11} = \sqrt{4^2 \cdot 11} = \sqrt{16 \cdot 11} = \sqrt{176}$.
Так как $13^2 = 169$ и $14^2 = 196$, то $13 < \sqrt{176} < 14$.
Мы ищем целые числа $n$ в интервале $5 < n < 14$.
Это целые числа от 6 до 13 включительно.
Их количество: $13 - 6 + 1 = 8$.
Ответ: 8

в) Найдем количество целых чисел между $-5\sqrt{6}$ и $-\frac{1}{2}\sqrt{68}$.
Из пункта а) мы знаем, что $-13 < -5\sqrt{6} < -12$.
Оценим значение $-\frac{1}{2}\sqrt{68}$: $-\frac{1}{2}\sqrt{68} = -\sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 68} = -\sqrt{\frac{1}{4} \cdot 68} = -\sqrt{17}$.
Так как $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$, то $4 < \sqrt{17} < 5$, а значит $-5 < -\sqrt{17} < -4$.
Мы ищем целые числа $n$, удовлетворяющие неравенству $-13 < n < -4$.
Это целые числа от -12 до -5 включительно.
Их количество: $-5 - (-12) + 1 = -5 + 12 + 1 = 8$.
Ответ: 8

г) Найдем количество целых чисел между $-\frac{2}{3}\sqrt{54}$ и $\frac{6}{7}\sqrt{147}$.
Оценим значение $-\frac{2}{3}\sqrt{54}$: $-\frac{2}{3}\sqrt{54} = -\sqrt{(\frac{2}{3})^2 \cdot 54} = -\sqrt{\frac{4}{9} \cdot 54} = -\sqrt{4 \cdot 6} = -\sqrt{24}$.
Так как $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$, то $4 < \sqrt{24} < 5$, а значит $-5 < -\sqrt{24} < -4$.
Оценим значение $\frac{6}{7}\sqrt{147}$. Упростим выражение под корнем: $\sqrt{147} = \sqrt{49 \cdot 3} = 7\sqrt{3}$.
Тогда $\frac{6}{7}\sqrt{147} = \frac{6}{7} \cdot 7\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.
Внесем 6 под знак корня: $6\sqrt{3} = \sqrt{6^2 \cdot 3} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{108}$.
Так как $10^2 = 100$ и $11^2 = 121$, то $10 < \sqrt{108} < 11$.
Мы ищем целые числа $n$, удовлетворяющие неравенству $-5 < n < 11$.
Это целые числа от -4 до 10 включительно.
Их количество: $10 - (-4) + 1 = 10 + 4 + 1 = 15$.
Ответ: 15