Номер 82, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 1. Параграф 2. Приложения математики в реальной жизни. Глава 1. Числа и вычисления - номер 82, страница 29.

Условие.

82. Выясните, каким числом (рациональным или иррациональным) является значение выражения:

Решение 1.

Решение 8.

Для того чтобы выяснить, является ли значение выражения рациональным или иррациональным числом, необходимо упростить каждое выражение. Рациональное число можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Иррациональное число так представить нельзя (часто это корень из числа, не являющегося полным квадратом).

а)

Упростим выражение $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{50}}$, используя свойство частного квадратных корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{50}} = \sqrt{\frac{72}{50}}$

Сократим дробь под знаком корня:

$\sqrt{\frac{72}{50}} = \sqrt{\frac{36 \cdot 2}{25 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{36}{25}}$

Извлечем квадратный корень:

$\sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5}$

Полученное число $\frac{6}{5}$ (или 1,2) является обыкновенной дробью, то есть рациональным числом.

Ответ: рациональное число.

б)

Упростим выражение $(\sqrt{24} - \sqrt{54}) \cdot \sqrt{12}$. Сначала вынесем множители из-под знака корня в скобках:

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$

Подставим упрощенные значения в выражение:

$(2\sqrt{6} - 3\sqrt{6}) \cdot \sqrt{12} = (-\sqrt{6}) \cdot \sqrt{12}$

Теперь перемножим корни, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$(-\sqrt{6}) \cdot \sqrt{12} = -\sqrt{6 \cdot 12} = -\sqrt{72}$

Упростим полученный результат:

$-\sqrt{72} = -\sqrt{36 \cdot 2} = -6\sqrt{2}$

Число $\sqrt{2}$ является иррациональным. Произведение рационального числа (кроме 0) на иррациональное всегда является иррациональным числом.

Ответ: иррациональное число.

в)

Раскроем скобки в выражении $(3 - \sqrt{5})^2 + (3 + \sqrt{5})^2$, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(3 - \sqrt{5})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 9 - 6\sqrt{5} + 5 = 14 - 6\sqrt{5}$

$(3 + \sqrt{5})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 9 + 6\sqrt{5} + 5 = 14 + 6\sqrt{5}$

Теперь сложим полученные результаты:

$(14 - 6\sqrt{5}) + (14 + 6\sqrt{5}) = 14 + 14 - 6\sqrt{5} + 6\sqrt{5} = 28$

Результатом является целое число 28, которое является рациональным числом (т.к. $28 = \frac{28}{1}$).

Ответ: рациональное число.

г)

Раскроем скобки в выражении $(\sqrt{13} + \sqrt{8})^2$, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(\sqrt{13} + \sqrt{8})^2 = (\sqrt{13})^2 + 2 \cdot \sqrt{13} \cdot \sqrt{8} + (\sqrt{8})^2$

Упростим каждое слагаемое:

$13 + 2\sqrt{13 \cdot 8} + 8 = 21 + 2\sqrt{104}$

Вынесем множитель из-под знака корня в $\sqrt{104}$:

$\sqrt{104} = \sqrt{4 \cdot 26} = 2\sqrt{26}$

Подставим обратно в выражение:

$21 + 2 \cdot (2\sqrt{26}) = 21 + 4\sqrt{26}$

Число 26 не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{26}$ — иррациональное число. Сумма рационального числа (21) и иррационального числа ($4\sqrt{26}$) является иррациональным числом.

Ответ: иррациональное число.