Номер 83, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Дополнительные упражнения к главе 1. Параграф 2. Приложения математики в реальной жизни. Глава 1. Числа и вычисления - номер 83, страница 29.

Условие.

83. Докажите, что значение выражения является рациональным числом:

Решение 1.

Решение 8.

а) Для того чтобы доказать, что значение выражения является рациональным числом, необходимо его упростить. Исходное выражение: $ \sqrt{(7-4\sqrt{3})^2} - \sqrt{(4-2\sqrt{3})^2} $.

Воспользуемся свойством арифметического квадратного корня $ \sqrt{a^2} = |a| $. Применив это свойство, получим:

$ \sqrt{(7-4\sqrt{3})^2} - \sqrt{(4-2\sqrt{3})^2} = |7-4\sqrt{3}| - |4-2\sqrt{3}| $

Далее, чтобы раскрыть модули, определим знаки подмодульных выражений.

1. Сравним $7$ и $4\sqrt{3}$. Для этого сравним их квадраты: $7^2 = 49$ и $(4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$. Так как $49 > 48$, то $7 > 4\sqrt{3}$, и, следовательно, выражение $7-4\sqrt{3}$ положительно. Значит, $|7-4\sqrt{3}| = 7-4\sqrt{3}$.

2. Сравним $4$ и $2\sqrt{3}$. Сравним их квадраты: $4^2 = 16$ и $(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$. Так как $16 > 12$, то $4 > 2\sqrt{3}$, и, следовательно, выражение $4-2\sqrt{3}$ положительно. Значит, $|4-2\sqrt{3}| = 4-2\sqrt{3}$.

Теперь подставим полученные значения обратно в выражение:

$ (7-4\sqrt{3}) - (4-2\sqrt{3}) = 7 - 4\sqrt{3} - 4 + 2\sqrt{3} = (7-4) + (-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}) = 3 - 2\sqrt{3} $.

Полученное значение $3 - 2\sqrt{3}$ является иррациональным числом, так как оно представляет собой сумму рационального числа $3$ и иррационального числа $-2\sqrt{3}$. Таким образом, доказать, что значение данного выражения является рациональным числом, невозможно, так как это утверждение неверно для приведенного выражения.

Ответ: Значение выражения равно $3 - 2\sqrt{3}$, что является иррациональным числом.

б) Упростим выражение $ \sqrt{(37+12\sqrt{7})^2} + \sqrt{(37-12\sqrt{7})^2} $.

Используем то же свойство $ \sqrt{a^2} = |a| $:

$ \sqrt{(37+12\sqrt{7})^2} + \sqrt{(37-12\sqrt{7})^2} = |37+12\sqrt{7}| + |37-12\sqrt{7}| $

Определим знаки выражений под модулем.

1. Выражение $37+12\sqrt{7}$ является суммой двух положительных чисел, поэтому оно положительно. Следовательно, $|37+12\sqrt{7}| = 37+12\sqrt{7}$.

2. Сравним $37$ и $12\sqrt{7}$. Сравним их квадраты: $37^2 = 1369$ и $(12\sqrt{7})^2 = 144 \cdot 7 = 1008$. Так как $1369 > 1008$, то $37 > 12\sqrt{7}$, и выражение $37-12\sqrt{7}$ положительно. Следовательно, $|37-12\sqrt{7}| = 37-12\sqrt{7}$.

Подставим полученные значения в выражение:

$ (37+12\sqrt{7}) + (37-12\sqrt{7}) = 37 + 12\sqrt{7} + 37 - 12\sqrt{7} = (37+37) + (12\sqrt{7}-12\sqrt{7}) = 74 $.

Число $74$ является рациональным, так как его можно представить в виде дроби, например, $\frac{74}{1}$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: $74$.