Страница 29 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

80. Известно, что x и y — натуральные числа. Значения каких из выражений: x + y, x – y, x ∙ y, $\frac{x}{y}$(y ≠ 0) также являются натуральными числами? Если условие не выполняется, то приведите пример.

По условию, $x$ и $y$ — натуральные числа, то есть они принадлежат множеству $\{1, 2, 3, \ldots\}$. Проанализируем каждое из предложенных выражений.

$x + y$
Сумма двух натуральных чисел всегда является натуральным числом. Множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения. Например, если взять натуральные числа $x = 5$ и $y = 8$, их сумма $x + y = 5 + 8 = 11$ также является натуральным числом. Это справедливо для любых натуральных $x$ и $y$.
Ответ: значение выражения $x + y$ всегда является натуральным числом.

$x - y$
Разность двух натуральных чисел не всегда является натуральным числом. Если вычитаемое больше уменьшаемого ($y > x$), то результат будет отрицательным числом, которое не является натуральным. Также, если числа равны ($x = y$), результат будет 0, который также не является натуральным числом.
Пример: пусть $x = 5$ и $y = 9$. Оба числа натуральные. Их разность $x - y = 5 - 9 = -4$. Число -4 не является натуральным.
Ответ: значение выражения $x - y$ не всегда является натуральным числом.

$x \cdot y$
Произведение двух натуральных чисел всегда является натуральным числом. Множество натуральных чисел замкнуто относительно операции умножения. Например, для натуральных чисел $x = 4$ и $y = 5$, их произведение $x \cdot y = 4 \cdot 5 = 20$ также является натуральным числом.
Ответ: значение выражения $x \cdot y$ всегда является натуральным числом.

$\frac{x}{y} \; (y \neq 0)$
Частное от деления одного натурального числа на другое не всегда является натуральным числом. Результат будет натуральным числом только в том случае, если делимое $x$ кратно делителю $y$ (то есть делится нацело). В противном случае результатом будет дробное (рациональное) число.
Пример: пусть $x = 7$ и $y = 2$. Оба числа натуральные. Их частное $\frac{x}{y} = \frac{7}{2} = 3.5$. Число 3.5 не является натуральным.
Ответ: значение выражения $\frac{x}{y}$ не всегда является натуральным числом.

81. Сколько целых чисел расположено между числами:

а) Чтобы найти количество целых чисел между числами $-5\sqrt{6}$ и $\sqrt{83}$, оценим их значения.
Для первого числа внесем множитель 5 под знак корня: $-5\sqrt{6} = -\sqrt{5^2 \cdot 6} = -\sqrt{25 \cdot 6} = -\sqrt{150}$.
Найдем ближайшие к 150 квадраты целых чисел: $12^2 = 144$ и $13^2 = 169$.
Поскольку $144 < 150 < 169$, то $12 < \sqrt{150} < 13$. Следовательно, $-13 < -\sqrt{150} < -12$.
Теперь оценим второе число, $\sqrt{83}$.
Ближайшие к 83 квадраты целых чисел: $9^2 = 81$ и $10^2 = 100$.
Поскольку $81 < 83 < 100$, то $9 < \sqrt{83} < 10$.
Мы ищем все целые числа $n$, которые удовлетворяют неравенству $-12.25 \approx -5\sqrt{6} < n < \sqrt{83} \approx 9.1$.
Это целые числа от -12 до 9 включительно.
Чтобы найти их количество, вычтем из большего числа меньшее и прибавим 1: $9 - (-12) + 1 = 9 + 12 + 1 = 22$.
Ответ: 22

б) Найдем количество целых чисел между $3\sqrt{3}$ и $4\sqrt{11}$.
Оценим значение $3\sqrt{3}$: $3\sqrt{3} = \sqrt{3^2 \cdot 3} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{27}$.
Так как $5^2 = 25$ и $6^2 = 36$, то $5 < \sqrt{27} < 6$.
Оценим значение $4\sqrt{11}$: $4\sqrt{11} = \sqrt{4^2 \cdot 11} = \sqrt{16 \cdot 11} = \sqrt{176}$.
Так как $13^2 = 169$ и $14^2 = 196$, то $13 < \sqrt{176} < 14$.
Мы ищем целые числа $n$ в интервале $5 < n < 14$.
Это целые числа от 6 до 13 включительно.
Их количество: $13 - 6 + 1 = 8$.
Ответ: 8

в) Найдем количество целых чисел между $-5\sqrt{6}$ и $-\frac{1}{2}\sqrt{68}$.
Из пункта а) мы знаем, что $-13 < -5\sqrt{6} < -12$.
Оценим значение $-\frac{1}{2}\sqrt{68}$: $-\frac{1}{2}\sqrt{68} = -\sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 68} = -\sqrt{\frac{1}{4} \cdot 68} = -\sqrt{17}$.
Так как $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$, то $4 < \sqrt{17} < 5$, а значит $-5 < -\sqrt{17} < -4$.
Мы ищем целые числа $n$, удовлетворяющие неравенству $-13 < n < -4$.
Это целые числа от -12 до -5 включительно.
Их количество: $-5 - (-12) + 1 = -5 + 12 + 1 = 8$.
Ответ: 8

г) Найдем количество целых чисел между $-\frac{2}{3}\sqrt{54}$ и $\frac{6}{7}\sqrt{147}$.
Оценим значение $-\frac{2}{3}\sqrt{54}$: $-\frac{2}{3}\sqrt{54} = -\sqrt{(\frac{2}{3})^2 \cdot 54} = -\sqrt{\frac{4}{9} \cdot 54} = -\sqrt{4 \cdot 6} = -\sqrt{24}$.
Так как $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$, то $4 < \sqrt{24} < 5$, а значит $-5 < -\sqrt{24} < -4$.
Оценим значение $\frac{6}{7}\sqrt{147}$. Упростим выражение под корнем: $\sqrt{147} = \sqrt{49 \cdot 3} = 7\sqrt{3}$.
Тогда $\frac{6}{7}\sqrt{147} = \frac{6}{7} \cdot 7\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$.
Внесем 6 под знак корня: $6\sqrt{3} = \sqrt{6^2 \cdot 3} = \sqrt{36 \cdot 3} = \sqrt{108}$.
Так как $10^2 = 100$ и $11^2 = 121$, то $10 < \sqrt{108} < 11$.
Мы ищем целые числа $n$, удовлетворяющие неравенству $-5 < n < 11$.
Это целые числа от -4 до 10 включительно.
Их количество: $10 - (-4) + 1 = 10 + 4 + 1 = 15$.
Ответ: 15

82. Выясните, каким числом (рациональным или иррациональным) является значение выражения:

Для того чтобы выяснить, является ли значение выражения рациональным или иррациональным числом, необходимо упростить каждое выражение. Рациональное число можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Иррациональное число так представить нельзя (часто это корень из числа, не являющегося полным квадратом).

а)

Упростим выражение $\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{50}}$, используя свойство частного квадратных корней $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$:

$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{50}} = \sqrt{\frac{72}{50}}$

Сократим дробь под знаком корня:

$\sqrt{\frac{72}{50}} = \sqrt{\frac{36 \cdot 2}{25 \cdot 2}} = \sqrt{\frac{36}{25}}$

Извлечем квадратный корень:

$\sqrt{\frac{36}{25}} = \frac{6}{5}$

Полученное число $\frac{6}{5}$ (или 1,2) является обыкновенной дробью, то есть рациональным числом.

Ответ: рациональное число.

б)

Упростим выражение $(\sqrt{24} - \sqrt{54}) \cdot \sqrt{12}$. Сначала вынесем множители из-под знака корня в скобках:

$\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = 2\sqrt{6}$

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$

Подставим упрощенные значения в выражение:

$(2\sqrt{6} - 3\sqrt{6}) \cdot \sqrt{12} = (-\sqrt{6}) \cdot \sqrt{12}$

Теперь перемножим корни, используя свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$(-\sqrt{6}) \cdot \sqrt{12} = -\sqrt{6 \cdot 12} = -\sqrt{72}$

Упростим полученный результат:

$-\sqrt{72} = -\sqrt{36 \cdot 2} = -6\sqrt{2}$

Число $\sqrt{2}$ является иррациональным. Произведение рационального числа (кроме 0) на иррациональное всегда является иррациональным числом.

Ответ: иррациональное число.

в)

Раскроем скобки в выражении $(3 - \sqrt{5})^2 + (3 + \sqrt{5})^2$, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(3 - \sqrt{5})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 9 - 6\sqrt{5} + 5 = 14 - 6\sqrt{5}$

$(3 + \sqrt{5})^2 = 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} + (\sqrt{5})^2 = 9 + 6\sqrt{5} + 5 = 14 + 6\sqrt{5}$

Теперь сложим полученные результаты:

$(14 - 6\sqrt{5}) + (14 + 6\sqrt{5}) = 14 + 14 - 6\sqrt{5} + 6\sqrt{5} = 28$

Результатом является целое число 28, которое является рациональным числом (т.к. $28 = \frac{28}{1}$).

Ответ: рациональное число.

г)

Раскроем скобки в выражении $(\sqrt{13} + \sqrt{8})^2$, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(\sqrt{13} + \sqrt{8})^2 = (\sqrt{13})^2 + 2 \cdot \sqrt{13} \cdot \sqrt{8} + (\sqrt{8})^2$

Упростим каждое слагаемое:

$13 + 2\sqrt{13 \cdot 8} + 8 = 21 + 2\sqrt{104}$

Вынесем множитель из-под знака корня в $\sqrt{104}$:

$\sqrt{104} = \sqrt{4 \cdot 26} = 2\sqrt{26}$

Подставим обратно в выражение:

$21 + 2 \cdot (2\sqrt{26}) = 21 + 4\sqrt{26}$

Число 26 не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{26}$ — иррациональное число. Сумма рационального числа (21) и иррационального числа ($4\sqrt{26}$) является иррациональным числом.

Ответ: иррациональное число.

83. Докажите, что значение выражения является рациональным числом:

а) Для того чтобы доказать, что значение выражения является рациональным числом, необходимо его упростить. Исходное выражение: $ \sqrt{(7-4\sqrt{3})^2} - \sqrt{(4-2\sqrt{3})^2} $.

Воспользуемся свойством арифметического квадратного корня $ \sqrt{a^2} = |a| $. Применив это свойство, получим:

$ \sqrt{(7-4\sqrt{3})^2} - \sqrt{(4-2\sqrt{3})^2} = |7-4\sqrt{3}| - |4-2\sqrt{3}| $

Далее, чтобы раскрыть модули, определим знаки подмодульных выражений.

1. Сравним $7$ и $4\sqrt{3}$. Для этого сравним их квадраты: $7^2 = 49$ и $(4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48$. Так как $49 > 48$, то $7 > 4\sqrt{3}$, и, следовательно, выражение $7-4\sqrt{3}$ положительно. Значит, $|7-4\sqrt{3}| = 7-4\sqrt{3}$.

2. Сравним $4$ и $2\sqrt{3}$. Сравним их квадраты: $4^2 = 16$ и $(2\sqrt{3})^2 = 4 \cdot 3 = 12$. Так как $16 > 12$, то $4 > 2\sqrt{3}$, и, следовательно, выражение $4-2\sqrt{3}$ положительно. Значит, $|4-2\sqrt{3}| = 4-2\sqrt{3}$.

Теперь подставим полученные значения обратно в выражение:

$ (7-4\sqrt{3}) - (4-2\sqrt{3}) = 7 - 4\sqrt{3} - 4 + 2\sqrt{3} = (7-4) + (-4\sqrt{3}+2\sqrt{3}) = 3 - 2\sqrt{3} $.

Полученное значение $3 - 2\sqrt{3}$ является иррациональным числом, так как оно представляет собой сумму рационального числа $3$ и иррационального числа $-2\sqrt{3}$. Таким образом, доказать, что значение данного выражения является рациональным числом, невозможно, так как это утверждение неверно для приведенного выражения.

Ответ: Значение выражения равно $3 - 2\sqrt{3}$, что является иррациональным числом.

б) Упростим выражение $ \sqrt{(37+12\sqrt{7})^2} + \sqrt{(37-12\sqrt{7})^2} $.

Используем то же свойство $ \sqrt{a^2} = |a| $:

$ \sqrt{(37+12\sqrt{7})^2} + \sqrt{(37-12\sqrt{7})^2} = |37+12\sqrt{7}| + |37-12\sqrt{7}| $

Определим знаки выражений под модулем.

1. Выражение $37+12\sqrt{7}$ является суммой двух положительных чисел, поэтому оно положительно. Следовательно, $|37+12\sqrt{7}| = 37+12\sqrt{7}$.

2. Сравним $37$ и $12\sqrt{7}$. Сравним их квадраты: $37^2 = 1369$ и $(12\sqrt{7})^2 = 144 \cdot 7 = 1008$. Так как $1369 > 1008$, то $37 > 12\sqrt{7}$, и выражение $37-12\sqrt{7}$ положительно. Следовательно, $|37-12\sqrt{7}| = 37-12\sqrt{7}$.

Подставим полученные значения в выражение:

$ (37+12\sqrt{7}) + (37-12\sqrt{7}) = 37 + 12\sqrt{7} + 37 - 12\sqrt{7} = (37+37) + (12\sqrt{7}-12\sqrt{7}) = 74 $.

Число $74$ является рациональным, так как его можно представить в виде дроби, например, $\frac{74}{1}$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: $74$.

84. Установите соответствие между точками, отмеченными на координатной прямой (рис. 6, а), и числами

Для того чтобы установить соответствие между точками на координатной прямой и заданными числами, необходимо вычислить значение каждого числа, а затем сравнить их и расположить в порядке возрастания. Это и будет их порядок на прямой слева направо.

$\sqrt{11}$

Для оценки значения корня найдем квадраты ближайших целых чисел: $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$. Поскольку $9 < 11 < 16$, то и $\sqrt{9} < \sqrt{11} < \sqrt{16}$, следовательно, $3 < \sqrt{11} < 4$. Для более точной оценки можно использовать приближение: $3,3^2 = 10,89$, что очень близко к 11. Таким образом, $\sqrt{11} \approx 3,32$.

$\frac{123}{23}$

Это неправильная дробь. Чтобы найти ее значение, выделим целую часть, разделив 123 на 23. $23 \times 5 = 115$. Остаток от деления $123 - 115 = 8$. Таким образом, дробь можно записать в виде смешанного числа: $\frac{123}{23} = 5\frac{8}{23}$. Значение этого числа очевидно больше 5. Для более точного сравнения переведем в десятичную дробь: $5\frac{8}{23} \approx 5 + 0,348 = 5,348$.

$(1\frac{2}{3})^2$

Сперва преобразуем смешанное число $1\frac{2}{3}$ в неправильную дробь: $1\frac{2}{3} = \frac{1 \times 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$. Теперь возведем полученную дробь в квадрат: $(\frac{5}{3})^2 = \frac{5^2}{3^2} = \frac{25}{9}$. Для удобства сравнения переведем в десятичную дробь: $25 \div 9 = 2,777... = 2,(7)$.

$(0,8)^{-1}$

Степень с отрицательным показателем $-1$ означает нахождение обратного числа. Сначала представим $0,8$ в виде обыкновенной дроби: $0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$. Тогда: $(0,8)^{-1} = (\frac{4}{5})^{-1} = \frac{5}{4}$. Переведем в десятичную дробь: $\frac{5}{4} = 1,25$.

Установление соответствия

Теперь, когда мы вычислили значения всех чисел, мы можем их сравнить:

• $(0,8)^{-1} = 1,25$
• $(1\frac{2}{3})^2 = 2,(7) \approx 2,78$
• $\sqrt{11} \approx 3,32$
• $\frac{123}{23} = 5\frac{8}{23} \approx 5,35$

Расположим числа в порядке возрастания их значений:

$1,25 < 2,(7) < \sqrt{11} < 5\frac{8}{23}$

Заменив десятичные приближения на исходные выражения, получаем искомый порядок:

$(0,8)^{-1} < (1\frac{2}{3})^2 < \sqrt{11} < \frac{123}{23}$

Это означает, что на координатной прямой самой левой будет точка, соответствующая числу $(0,8)^{-1}$, затем правее — точка для $(1\frac{2}{3})^2$, еще правее — для $\sqrt{11}$, и самой правой будет точка для $\frac{123}{23}$.

Ответ: Порядок расположения чисел на координатной прямой слева направо: $(0,8)^{-1}$; $(1\frac{2}{3})^2$; $\sqrt{11}$; $\frac{123}{23}$.

85. Число a отмечено точкой на координатной прямой (рис. 6, б). Расположите в порядке убывания числа a – 2; $\frac{1}{a}$; a².

б)

Из условия задачи и рисунка 6, б) следует, что число a находится на координатной прямой в интервале от 0 до 1. Это можно записать в виде двойного неравенства: $0 < a < 1$.

Нам необходимо сравнить и расположить в порядке убывания три числа: $a - 2$, $\frac{1}{a}$ и $a^2$. Для этого оценим значение каждого из них.

1. Оценим значение выражения $a - 2$.

   Возьмем исходное неравенство $0 < a < 1$ и вычтем из каждой его части число 2:

   $0 - 2 < a - 2 < 1 - 2$

   $-2 < a - 2 < -1$

   Таким образом, значение выражения $a - 2$ является отрицательным числом, находящимся в интервале от -2 до -1.

2. Оценим значение выражения $\frac{1}{a}$.

   Поскольку $a$ — это положительное число, которое меньше 1 (является правильной дробью), то обратное ему число $\frac{1}{a}$ будет больше 1. Чтобы доказать это строго, разделим неравенство $a < 1$ на положительное число $a$. Знак неравенства при этом не изменится:

   $\frac{a}{a} < \frac{1}{a}$

   $1 < \frac{1}{a}$

   Следовательно, значение выражения $\frac{1}{a}$ — это положительное число, которое больше 1.

3. Оценим значение выражения $a^2$.

   При возведении в квадрат положительного числа, меньшего 1, результат также будет положительным числом, меньшим 1. Умножим неравенство $a < 1$ на положительное число $a$:

   $a \cdot a < 1 \cdot a$

   $a^2 < a$

   Поскольку мы знаем, что $a < 1$, то и $a^2$ тоже будет меньше 1. Таким образом, мы имеем следующую цепочку неравенств:

   $0 < a^2 < a < 1$

   Значит, значение выражения $a^2$ — это положительное число, находящееся в интервале от 0 до 1.

Теперь, зная свойства каждого числа, мы можем их сравнить:

• Число $\frac{1}{a}$ больше 1.
• Число $a^2$ больше 0, но меньше 1.
• Число $a - 2$ является отрицательным.

Располагая числа в порядке убывания (от самого большого к самому маленькому), получаем следующую последовательность:

$\frac{1}{a} > a^2 > a - 2$

Ответ: $\frac{1}{a}; a^2; a - 2$.

86. Расположите в порядке убывания числа:

а) Чтобы расположить числа в порядке убывания, сначала преобразуем каждое из них, используя свойства степеней.

1. Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{2}{3})^{-4} = (\frac{3}{2})^4 = \frac{3^4}{2^4} = \frac{81}{16}$

2. Второе число остается без изменений: $\frac{2}{3}$

3. Снова используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{3}{2})^{-4} = (\frac{2}{3})^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81}$

4. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, $a^0 = 1$:
$(\frac{3}{2})^0 = 1$

Теперь у нас есть числа: $\frac{81}{16}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{16}{81}$ и $1$. Сравним их значения:

$\frac{81}{16} = 5\frac{1}{16} = 5.0625$

$\frac{2}{3} \approx 0.667$

$\frac{16}{81} \approx 0.198$

$1$

Располагая эти значения в порядке убывания, получаем: $5.0625 > 1 > 0.667 > 0.198$, что соответствует $\frac{81}{16} > 1 > \frac{2}{3} > \frac{16}{81}$.

Запишем в исходном виде:
$(\frac{2}{3})^{-4} > (\frac{3}{2})^0 > \frac{2}{3} > (\frac{3}{2})^{-4}$.

Ответ: $(\frac{2}{3})^{-4}$; $\frac{2}{3}$; $(\frac{3}{2})^{-4}$; $(\frac{3}{2})^0$.

б) В данном случае все числа являются степенями с одинаковым основанием $2.5$. Основание $a = 2.5$ больше 1. Показательная функция $y=a^x$ с основанием $a>1$ является возрастающей. Это значит, что чем больше показатель степени, тем больше значение выражения.

Данные числа: $(2.5)^{-3}$, $2.5$, $(2.5)^{-5}$, $(2.5)^0$. Представим $2.5$ как $(2.5)^1$. Показатели степеней равны: $-3$, $1$, $-5$, $0$.

Расположим показатели в порядке убывания: $1 > 0 > -3 > -5$.

Поскольку основание $2.5 > 1$, порядок чисел будет таким же, как и порядок их показателей: $(2.5)^1 > (2.5)^0 > (2.5)^{-3} > (2.5)^{-5}$.

Ответ: $2.5$; $(2.5)^0$; $(2.5)^{-3}$; $(2.5)^{-5}$.

в) Здесь все числа являются степенями с одинаковым основанием $\frac{4}{9}$. Основание $a = \frac{4}{9}$ меньше 1 (и больше 0). Показательная функция $y=a^x$ с основанием $0 < a < 1$ является убывающей. Это значит, что чем больше показатель степени, тем меньше значение выражения.

Данные числа: $(\frac{4}{9})^{-5}$, $(\frac{4}{9})^{-6}$, $\frac{4}{9}$, $(\frac{4}{9})^0$. Представим $\frac{4}{9}$ как $(\frac{4}{9})^1$. Показатели степеней равны: $-5$, $-6$, $1$, $0$.

Расположим показатели в порядке убывания: $1 > 0 > -5 > -6$.

Поскольку основание $\frac{4}{9} < 1$, порядок чисел будет обратным порядку их показателей: $(\frac{4}{9})^{-6} > (\frac{4}{9})^{-5} > (\frac{4}{9})^0 > (\frac{4}{9})^1$.

Ответ: $(\frac{4}{9})^{-6}$; $(\frac{4}{9})^{-5}$; $(\frac{4}{9})^0$; $\frac{4}{9}$.

87. Найдите $\frac{a}{b}$, если:

а)

Дано уравнение $ \frac{2a + 5b}{5a + 2b} = 1 $.
Для нахождения отношения $ \frac{a}{b} $ преобразуем данное уравнение. Используем свойство пропорции (или умножим обе части уравнения на знаменатель $ 5a + 2b $, при условии, что он не равен нулю).
$ 2a + 5b = 1 \cdot (5a + 2b) $
$ 2a + 5b = 5a + 2b $
Теперь сгруппируем слагаемые с переменной $a$ в одной части уравнения, а с переменной $b$ — в другой:
$ 5b - 2b = 5a - 2a $
$ 3b = 3a $
Разделим обе части равенства на 3:
$ b = a $
Чтобы найти $ \frac{a}{b} $, разделим обе части равенства $ a = b $ на $b$ (при условии, что $ b \neq 0 $). Если $ b = 0 $, то из равенства $a=b$ следует, что и $ a = 0 $, что делает знаменатель исходной дроби $5a + 2b = 0$ равным нулю, а это недопустимо.
$ \frac{a}{b} = \frac{b}{b} = 1 $
Ответ: 1

б)

Дано уравнение $ \frac{a + 2b}{b + 2a} = -3 $.
Умножим обе части уравнения на знаменатель $ (b + 2a) $, при условии, что $ b + 2a \neq 0 $.
$ a + 2b = -3 \cdot (b + 2a) $
Раскроем скобки в правой части:
$ a + 2b = -3b - 6a $
Сгруппируем слагаемые с $a$ в левой части, а с $b$ в правой:
$ a + 6a = -3b - 2b $
$ 7a = -5b $
Чтобы найти отношение $ \frac{a}{b} $, разделим обе части уравнения на $b$ (при $ b \neq 0 $), а затем на 7.
$ 7 \frac{a}{b} = -5 $
$ \frac{a}{b} = -\frac{5}{7} $
Ответ: $ -\frac{5}{7} $

в)

Дано уравнение $ \frac{99a + 8b}{4b - 100a} = 2 $.
Умножим обе части на знаменатель $ (4b - 100a) $, при условии, что $ 4b - 100a \neq 0 $.
$ 99a + 8b = 2 \cdot (4b - 100a) $
Раскроем скобки:
$ 99a + 8b = 8b - 200a $
Перенесем все слагаемые с $a$ в левую часть, а с $b$ в правую:
$ 99a + 200a = 8b - 8b $
$ 299a = 0 $
Отсюда следует, что $ a = 0 $.
Для того чтобы найти отношение $ \frac{a}{b} $, нам нужно убедиться, что $ b \neq 0 $. Если предположить, что $ b = 0 $, то и $ a = 0 $, и знаменатель исходной дроби $ 4b - 100a $ становится равным 0, что недопустимо. Следовательно, $ b \neq 0 $.
Тогда искомое отношение равно:
$ \frac{a}{b} = \frac{0}{b} = 0 $
Ответ: 0