Страница 23 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

65. Елена Владимировна, накопив деньги к 25 февраля, решила приобрести холодильник за 45 000 р. и стиральную машину за 22 000 р. В магазине до конца февраля действует скидка 10% на любую покупку, с 1 марта по 15 марта действует скидка на стиральные машины 30%, а с 16 марта по 31 марта действует скидка 15% на холодильники. Когда Елене Владимировне выгоднее всего приобрести холодильник и стиральную машину в этом магазине?

Для того чтобы определить, когда Елене Владимировне выгоднее всего совершить покупки, необходимо рассчитать и сравнить общую стоимость холодильника и стиральной машины в каждый из предложенных временных периодов.

Начальные цены товаров:

• Стоимость холодильника: $45000$ р.
• Стоимость стиральной машины: $22000$ р.

Покупка до конца февраля

В этот период действует скидка 10% на всю покупку. Сначала найдем общую стоимость товаров без скидки:

$45000 \text{ р.} + 22000 \text{ р.} = 67000 \text{ р.}$

Теперь рассчитаем стоимость с учетом скидки 10%. Если скидка составляет 10%, то итоговая цена будет равна 90% от первоначальной:

$67000 \times (1 - \frac{10}{100}) = 67000 \times 0.9 = 60300 \text{ р.}$

Ответ: 60300 р.

Покупка с 1 по 15 марта

В этот период действует скидка 30% на стиральные машины, а холодильник продается по полной цене. Рассчитаем общую стоимость, если оба товара купить в этот период.

Стоимость стиральной машины со скидкой 30%:

$22000 \times (1 - \frac{30}{100}) = 22000 \times 0.7 = 15400 \text{ р.}$

Стоимость холодильника остается прежней: $45000$ р.

Общая стоимость покупки:

$15400 \text{ р.} + 45000 \text{ р.} = 60400 \text{ р.}$

Ответ: 60400 р.

Покупка с 16 по 31 марта

В этот период действует скидка 15% на холодильники, а стиральная машина продается по полной цене. Рассчитаем общую стоимость, если оба товара купить в этот период.

Стоимость холодильника со скидкой 15%:

$45000 \times (1 - \frac{15}{100}) = 45000 \times 0.85 = 38250 \text{ р.}$

Стоимость стиральной машины остается прежней: $22000$ р.

Общая стоимость покупки:

$38250 \text{ р.} + 22000 \text{ р.} = 60250 \text{ р.}$

Ответ: 60250 р.

Покупка товаров в разные периоды скидок

Рассмотрим самый выгодный сценарий: покупка каждого товара в период действия максимальной на него скидки. Это означает, что стиральную машину нужно купить с 1 по 15 марта, а холодильник — с 16 по 31 марта.

Стоимость стиральной машины со скидкой 30% (покупка 1–15 марта): $15400$ р.

Стоимость холодильника со скидкой 15% (покупка 16–31 марта): $38250$ р.

Общая итоговая стоимость при раздельной покупке:

$15400 \text{ р.} + 38250 \text{ р.} = 53650 \text{ р.}$

Ответ: 53650 р.

Сравнение всех вариантов и итоговый вывод

Сравним полученные результаты:

• Покупка в феврале: $60300$ р.
• Покупка в первой половине марта: $60400$ р.
• Покупка во второй половине марта: $60250$ р.
• Покупка каждого товара в свой период скидок: $53650$ р.

Наименьшая сумма ($53650$ р.) получается, если покупать товары по отдельности в периоды действия соответствующих скидок.

Ответ: Елене Владимировне выгоднее всего приобрести стиральную машину в период с 1 по 15 марта, а холодильник — в период с 16 по 31 марта. В этом случае общие затраты будут минимальны и составят $53650$ рублей.

66. В новом районе предполагается построить школу. Сколько учебных кабинетов для обучающихся начальной школы надо запланировать в проекте, если в одном кабинете помещается не более 24 учащихся, а в школу после постройки должны поступить 385 детей младшего школьного возраста?

Для того чтобы рассчитать необходимое количество учебных кабинетов, нужно общее число детей, которые поступят в школу, разделить на максимальное количество учащихся, которое может вместить один кабинет.

Известно, что в школу должны поступить 385 детей младшего школьного возраста.

Вместимость одного кабинета составляет не более 24 учащихся.

Выполним деление общего числа учащихся на вместимость одного кабинета:
$385 \div 24 = 16$ (остаток 1)

Результат деления показывает, что если мы возьмем 16 кабинетов, то в них можно будет разместить $16 \times 24 = 384$ ученика. Однако, у нас 385 учеников, и один ученик ($385 - 384 = 1$) останется без места.

Поскольку количество кабинетов должно быть целым числом и все ученики должны быть размещены, необходимое количество кабинетов нужно округлить в большую сторону. Таким образом, потребуется еще один кабинет для оставшегося ученика.
$16 + 1 = 17$

Следовательно, в проекте школы нужно запланировать 17 учебных кабинетов для учащихся начальной школы.

Ответ: 17.

67. 6 августа Артём устроился на работу. Зарплата Артёму будет поступать на его счёт два раза в месяц: 19-го числа каждого месяца Артёму будут перечислять аванс за работу в текущем месяце в размере 36 000 р., а 5-го числа следующего месяца — оставшуюся часть денег в размере 48 000 р. В месяц Артём собирается тратить 30 000 р. на продукты и товары для дома, 11 600 р. на оплату коммунальных услуг, 2000 р. на оплату сотовой связи, 700 р. на оплату Интернета, 6400 р. на бензин, а также 10 000 р. на непредвиденные расходы. За какое наименьшее число месяцев Артём сможет накопить 500 000 р. на первоначальный взнос по ипотеке, если будет придерживаться плана расходов?

1. Рассчитаем общий ежемесячный доход Артёма.
Заработная плата Артёма за один месяц складывается из аванса, выплачиваемого в текущем месяце, и оставшейся части, выплачиваемой в следующем. Чтобы найти общий доход за один полный рабочий месяц, сложим эти две суммы:
$36000 \text{ р. (аванс)} + 48000 \text{ р. (остаток)} = 84000$ р.

2. Рассчитаем общие ежемесячные расходы Артёма.
Сложим все запланированные траты за месяц, чтобы найти общую сумму расходов:
$30000 \text{ (продукты)} + 11600 \text{ (коммунальные услуги)} + 2000 \text{ (связь)} + 700 \text{ (интернет)} + 6400 \text{ (бензин)} + 10000 \text{ (непредвиденные)} = 60700$ р.

3. Рассчитаем, какую сумму Артём сможет откладывать каждый месяц.
Ежемесячные накопления — это разница между общим доходом и общими расходами:
$84000 \text{ р. (доход)} - 60700 \text{ р. (расход)} = 23300$ р.

4. Рассчитаем, за какое наименьшее число месяцев Артём сможет накопить необходимую сумму.
Целевая сумма для накопления составляет $500000$ р. Чтобы определить необходимое количество месяцев, разделим целевую сумму на размер ежемесячных накоплений:
$ \frac{500000}{23300} \approx 21.459 $ месяцев.
Поскольку количество месяцев должно быть целым числом, а по прошествии 21 полного месяца накопленной суммы будет недостаточно, необходимо округлить полученное значение в большую сторону до 22.
Проверим накопления за 21 месяц: $21 \times 23300 = 489300$ р., что меньше требуемых $500000$ р.
Следовательно, Артёму понадобится ещё один, 22-й месяц, чтобы достичь цели. За 22 месяца его накопления составят $22 \times 23300 = 512600$ р.
Ответ: 22

68. С помощью рулетки измерьте длину своего шага (в сантиметрах). Подсчитайте количество шагов, которые вы совершаете, преодолевая расстояние от дома до школы, и запишите время, потраченное на этот путь. Зная длину шага и количество сделанных шагов, найдите расстояние от своего дома до школы (в метрах), а также вычислите среднюю скорость, с которой вы ходите в школу. (Чтобы узнать длину своего шага, измерьте расстояние от пятки до пятки.)

Это практическое задание, поэтому для получения точного ответа вам необходимо выполнить все измерения самостоятельно. Ниже приведен пример решения с использованием произвольных данных, которые вы должны заменить своими.

1. Измерение длины своего шага

С помощью рулетки измерьте расстояние от пятки одной ноги до пятки другой ноги при обычной ходьбе. Это и будет длина вашего шага. Запишите это значение в сантиметрах.

Пример: Допустим, измеренная длина шага составила $l_{шага} = 65$ см.

2. Подсчет количества шагов и времени в пути

По дороге от дома до школы посчитайте общее количество шагов, которое вы делаете. Также с помощью часов или секундомера зафиксируйте время, затраченное на весь путь.

Примерные данные для расчетов:

Количество шагов: $N = 1500$ шагов.

Время в пути: $t = 15$ минут.

3. Нахождение расстояния от дома до школы

Чтобы найти общее расстояние $S$, нужно умножить длину одного шага $l_{шага}$ на количество шагов $N$. По условию, расстояние нужно выразить в метрах, поэтому сначала переведем длину шага из сантиметров в метры (в 1 метре 100 сантиметров).

Перевод длины шага в метры:

$l_{шага} = 65 \text{ см} = \frac{65}{100} \text{ м} = 0.65 \text{ м}$

Теперь вычислим расстояние:

$S = l_{шага} \times N$

$S = 0.65 \text{ м} \times 1500 = 975 \text{ м}$

Ответ: Расстояние от дома до школы составляет 975 метров.

4. Вычисление средней скорости

Средняя скорость $v_{ср}$ вычисляется по формуле $v_{ср} = \frac{S}{t}$, где $S$ — пройденное расстояние, а $t$ — время в пути. Для расчетов необходимо, чтобы единицы измерения были согласованы. Рассчитаем скорость в метрах в секунду (м/с) и в километрах в час (км/ч).

Расчет в метрах в секунду (м/с):

Переведем время в секунды (в 1 минуте 60 секунд):

$t = 15 \text{ минут} = 15 \times 60 \text{ секунд} = 900 \text{ с}$

Вычислим скорость:

$v_{ср} = \frac{S}{t} = \frac{975 \text{ м}}{900 \text{ с}} \approx 1.08 \text{ м/с}$

Расчет в километрах в час (км/ч):

Переведем расстояние в километры (в 1 км 1000 м) и время в часы (в 1 часе 60 минут):

$S = 975 \text{ м} = \frac{975}{1000} \text{ км} = 0.975 \text{ км}$

$t = 15 \text{ минут} = \frac{15}{60} \text{ часа} = 0.25 \text{ ч}$

Вычислим скорость:

$v_{ср} = \frac{S}{t} = \frac{0.975 \text{ км}}{0.25 \text{ ч}} = 3.9 \text{ км/ч}$

Оба результата верны, но скорость ходьбы человека чаще выражают в км/ч.

Ответ: Средняя скорость ходьбы составляет примерно 1.08 м/с, или 3.9 км/ч.

69. Для привлечения клиентов София на месяц снизила цены в своём магазине на 10%. На сколько процентов Софии необходимо будет их повысить через месяц, чтобы вернуться к уровню цен, который был до снижения?

Для решения этой задачи давайте введем переменную для обозначения первоначальной цены.

Пусть $Ц$ — это первоначальная цена товара.

София снизила цену на 10%. Это означает, что новая цена ($Ц_{новая}$) составляет $100\% - 10\% = 90\%$ от первоначальной цены. Математически это можно записать так: $Ц_{новая} = Ц \cdot (1 - \frac{10}{100}) = Ц \cdot 0.9$

Теперь Софии нужно повысить новую цену $Ц_{новая}$ на определенный процент, чтобы вернуться к исходной цене $Ц$. Пусть $x$ — это искомый процент повышения.

При повышении цены мы берем за 100% уже новую, сниженную цену $Ц_{новая}$. Чтобы вернуться к первоначальной цене $Ц$, должно выполняться следующее равенство: $Ц_{новая} \cdot (1 + \frac{x}{100}) = Ц$

Теперь подставим в это уравнение выражение для $Ц_{новая}$, которое мы нашли ранее: $(Ц \cdot 0.9) \cdot (1 + \frac{x}{100}) = Ц$

Мы можем сократить обе части уравнения на $Ц$ (поскольку цена не может быть равна нулю): $0.9 \cdot (1 + \frac{x}{100}) = 1$

Теперь решим это уравнение относительно $x$: $1 + \frac{x}{100} = \frac{1}{0.9}$
Поскольку $0.9 = \frac{9}{10}$, то $\frac{1}{0.9} = \frac{10}{9}$. $1 + \frac{x}{100} = \frac{10}{9}$
$\frac{x}{100} = \frac{10}{9} - 1$
$\frac{x}{100} = \frac{10}{9} - \frac{9}{9}$
$\frac{x}{100} = \frac{1}{9}$
$x = \frac{100}{9}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $x = 11\frac{1}{9}$

Следовательно, чтобы вернуться к первоначальному уровню цен, Софии необходимо повысить новые цены на $11\frac{1}{9}\%$.

Ответ: $11\frac{1}{9}\%$.

70. Алексею Петровичу необходимо покрасить в два слоя стены на застеклённом балконе шириной 800 мм, длиной 2700 мм и высотой 3200 мм. Остекление балкона и балконный блок занимают $\frac{1}{4}$ площади его стен. Сколько литровых банок краски ему нужно купить, если расход краски составляет 250 мл на 1 м² при покраске в один слой?

Для решения этой задачи необходимо выполнить несколько последовательных шагов.

1. Перевод единиц измерения

Все размеры даны в миллиметрах (мм), а расход краски — на квадратный метр (м?). Для удобства расчетов переведем все размеры в метры.

• Ширина: $800 \text{ мм} = 0.8 \text{ м}$
• Длина: $2700 \text{ мм} = 2.7 \text{ м}$
• Высота: $3200 \text{ мм} = 3.2 \text{ м}$

2. Расчет общей площади стен

Балкон представляет собой прямоугольный параллелепипед. Площадь стен (боковая поверхность) вычисляется как произведение периметра основания на высоту.

Периметр основания: $P = 2 \times (\text{длина} + \text{ширина}) = 2 \times (2.7 \text{ м} + 0.8 \text{ м}) = 2 \times 3.5 \text{ м} = 7 \text{ м}$.

Общая площадь стен: $S_{общая} = P \times \text{высота} = 7 \text{ м} \times 3.2 \text{ м} = 22.4 \text{ м}^2$.

3. Расчет площади под покраску

По условию, остекление и балконный блок занимают $\frac{1}{4}$ площади стен. Следовательно, красить нужно оставшуюся часть:

$1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

Площадь под покраску для одного слоя: $S_{покраски} = S_{общая} \times \frac{3}{4} = 22.4 \text{ м}^2 \times \frac{3}{4} = 16.8 \text{ м}^2$.

4. Расчет необходимого объема краски

Покраска производится в два слоя, поэтому общая площадь, которую нужно покрыть краской, в два раза больше:

$S_{итоговая} = S_{покраски} \times 2 = 16.8 \text{ м}^2 \times 2 = 33.6 \text{ м}^2$.

Расход краски составляет $250 \text{ мл}$ на $1 \text{ м}^2$. Переведем миллилитры в литры: $250 \text{ мл} = 0.25 \text{ л}$.

Теперь рассчитаем общий объем необходимой краски:

$V = S_{итоговая} \times \text{Расход} = 33.6 \text{ м}^2 \times 0.25 \text{ л/м}^2 = 8.4 \text{ л}$.

5. Определение количества банок краски

Алексею Петровичу требуется $8.4$ литра краски. Так как краска продается в литровых банках и купить часть банки невозможно, необходимое количество литров следует округлить до ближайшего целого числа в большую сторону.

$\lceil 8.4 \rceil = 9$

Ответ: Алексею Петровичу нужно купить 9 литровых банок краски.