Страница 16 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

37. Округлите числа 17,26; 12,034; 8,654 до десятых и найдите абсолютную погрешность каждого из приближённых значений.

Для числа 17,26:

Чтобы округлить число до десятых, необходимо посмотреть на следующую за десятыми цифру, то есть на цифру в разряде сотых. В числе 17,26 это цифра 6. Согласно правилу округления, если эта цифра равна 5 или больше, то цифру в разряде десятых нужно увеличить на 1. Так как $6 \ge 5$, то округляем в большую сторону: $17,26 \approx 17,3$.

Абсолютная погрешность — это модуль разности между точным значением ($x$) и его приближенным значением ($a$). Формула: $\Delta = |x - a|$. В нашем случае: $\Delta = |17,26 - 17,3| = |-0,04| = 0,04$.

Ответ: приближенное значение равно $17,3$; абсолютная погрешность равна $0,04$.

Для числа 12,034:

Смотрим на цифру в разряде сотых. В числе 12,034 это цифра 3. Так как $3 < 5$, то цифру в разряде десятых оставляем без изменений, а последующие цифры отбрасываем. Округленное значение: $12,034 \approx 12,0$.

Вычисляем абсолютную погрешность: $\Delta = |12,034 - 12,0| = |0,034| = 0,034$.

Ответ: приближенное значение равно $12,0$; абсолютная погрешность равна $0,034$.

Для числа 8,654:

Смотрим на цифру в разряде сотых. В числе 8,654 это цифра 5. Так как $5 \ge 5$, то цифру в разряде десятых (6) увеличиваем на 1. Округленное значение: $8,654 \approx 8,7$.

Вычисляем абсолютную погрешность: $\Delta = |8,654 - 8,7| = |-0,046| = 0,046$.

Ответ: приближенное значение равно $8,7$; абсолютная погрешность равна $0,046$.

38. Найдите абсолютную погрешность приближённого значения, полученного в результате округления:

а) числа 9,87 до единиц;

б) числа 124 до десятков;

в) числа 0,453 до десятых;

г) числа 0,198 до сотых.

Абсолютная погрешность — это модуль разности между точным значением величины и её приближённым значением. Формула для вычисления абсолютной погрешности: $\Delta = |x - a|$, где $x$ — точное значение, а $a$ — приближённое значение.

а) Найдём абсолютную погрешность приближённого значения, полученного в результате округления числа 9,87 до единиц.
Точное значение $x = 9,87$.
Округляем число 9,87 до единиц (до целых). Смотрим на первую цифру после запятой — это 8. Так как $8 \ge 5$, округляем в большую сторону.
Приближённое значение $a = 10$.
Абсолютная погрешность: $\Delta = |9,87 - 10| = |-0,13| = 0,13$.
Ответ: 0,13

б) Найдём абсолютную погрешность приближённого значения, полученного в результате округления числа 124 до десятков.
Точное значение $x = 124$.
Округляем число 124 до десятков. Смотрим на цифру в разряде единиц — это 4. Так как $4 < 5$, округляем в меньшую сторону (отбрасываем единицы, заменяя их нулём).
Приближённое значение $a = 120$.
Абсолютная погрешность: $\Delta = |124 - 120| = |4| = 4$.
Ответ: 4

в) Найдём абсолютную погрешность приближённого значения, полученного в результате округления числа 0,453 до десятых.
Точное значение $x = 0,453$.
Округляем число 0,453 до десятых. Смотрим на вторую цифру после запятой (разряд сотых) — это 5. Так как $5 \ge 5$, округляем разряд десятых в большую сторону.
Приближённое значение $a = 0,5$.
Абсолютная погрешность: $\Delta = |0,453 - 0,5| = |0,453 - 0,500| = |-0,047| = 0,047$.
Ответ: 0,047

г) Найдём абсолютную погрешность приближённого значения, полученного в результате округления числа 0,198 до сотых.
Точное значение $x = 0,198$.
Округляем число 0,198 до сотых. Смотрим на третью цифру после запятой (разряд тысячных) — это 8. Так как $8 \ge 5$, округляем разряд сотых в большую сторону.
Приближённое значение $a = 0,20$.
Абсолютная погрешность: $\Delta = |0,198 - 0,20| = |0,198 - 0,200| = |-0,002| = 0,002$.
Ответ: 0,002

39. При выполнении вычислений дробь $\frac{1}{7}$ заменили десятичной дробью 0,14. Какова абсолютная погрешность этого приближения?

Абсолютная погрешность приближения — это модуль разности между точным значением величины и её приближённым значением.

Точное значение в задаче — это дробь $ \frac{1}{7} $.

Приближённое значение — это десятичная дробь $ 0,14 $.

Абсолютная погрешность $(\Delta)$ вычисляется по формуле:

$ \Delta = | \text{Точное значение} - \text{Приближённое значение} | $

Подставим наши значения в формулу:

$ \Delta = | \frac{1}{7} - 0,14 | $

Для вычисления разности представим десятичную дробь $ 0,14 $ в виде обыкновенной:

$ 0,14 = \frac{14}{100} = \frac{7}{50} $

Теперь выполним вычитание дробей. Для этого приведём их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для дробей со знаменателями 7 и 50 равен их произведению, так как числа 7 и 50 взаимно простые.

Общий знаменатель: $ 7 \times 50 = 350 $.

$ \Delta = | \frac{1}{7} - \frac{7}{50} | = | \frac{1 \times 50}{7 \times 50} - \frac{7 \times 7}{50 \times 7} | = | \frac{50}{350} - \frac{49}{350} | = | \frac{50-49}{350} | = | \frac{1}{350} | $

Модуль положительного числа равен самому числу, следовательно:

$ \Delta = \frac{1}{350} $

Ответ: $ \frac{1}{350} $

40. В каких границах заключено число y, если:

а) Запись $y = 6,5 \pm 0,1$ означает, что значение $y$ заключено в интервале, который можно представить в виде двойного неравенства. Нижняя граница этого интервала равна центральному значению минус погрешность, а верхняя — центральному значению плюс погрешность.
Это можно записать так: $6,5 - 0,1 \le y \le 6,5 + 0,1$.
Вычислим границы:
Нижняя граница: $6,5 - 0,1 = 6,4$.
Верхняя граница: $6,5 + 0,1 = 6,6$.
Таким образом, число $y$ заключено в следующих границах: $6,4 \le y \le 6,6$.
Ответ: $6,4 \le y \le 6,6$.

б) Аналогично, для $y = 1,27 \pm 0,2$ найдем границы интервала.
Запишем соответствующее двойное неравенство: $1,27 - 0,2 \le y \le 1,27 + 0,2$.
Вычислим границы:
Нижняя граница: $1,27 - 0,2 = 1,07$.
Верхняя граница: $1,27 + 0,2 = 1,47$.
Таким образом, число $y$ заключено в следующих границах: $1,07 \le y \le 1,47$.
Ответ: $1,07 \le y \le 1,47$.

41. На упаковке простокваши написано, что её надо хранить при температуре 4 ± 2 °С. В каких границах заключено значение температуры t °C, допустимое для хранения?

Указание на упаковке, что продукт следует хранить при температуре $4 \pm 2$ °C, задает допустимый диапазон температур. Эта запись означает, что температура хранения $t$ может отличаться от центрального значения $4$ °C не более чем на $2$ °C в большую или меньшую сторону.

Для нахождения границ этого диапазона необходимо определить минимально и максимально допустимые значения температуры.

Нижняя граница диапазона вычисляется путем вычитания отклонения из среднего значения: $t_{нижняя} = 4 - 2 = 2$ °C.

Верхняя граница диапазона вычисляется путем прибавления отклонения к среднему значению: $t_{верхняя} = 4 + 2 = 6$ °C.

Таким образом, значение температуры $t$, допустимое для хранения, заключено в границах от $2$ °C до $6$ °C включительно. Это можно записать в виде двойного неравенства: $2 \le t \le 6$.

Ответ: $2 \le t \le 6$.

42. На упаковке товара указано, что его масса равна 420 г ± 3%. В каких границах заключена масса a г этого товара?

В условии указано, что масса товара равна $420 \text{ г} \pm 3\%$. Это означает, что фактическая масса товара $a$ может отклоняться от номинальной массы в 420 г не более чем на 3% в большую или меньшую сторону. Чтобы найти границы, в которых заключена масса, необходимо выполнить следующие действия.

1. Вычислить величину отклонения в граммах.
Для этого найдем 3% от 420 г:
$420 \cdot \frac{3}{100} = 420 \cdot 0,03 = 12,6 \text{ г.}$
Таким образом, абсолютная погрешность составляет 12,6 г.

2. Определить нижнюю и верхнюю границы массы.
Нижняя граница (минимально возможная масса) вычисляется путем вычитания погрешности из номинальной массы:
$a_{min} = 420 - 12,6 = 407,4 \text{ г.}$
Верхняя граница (максимально возможная масса) вычисляется путем прибавления погрешности к номинальной массе:
$a_{max} = 420 + 12,6 = 432,6 \text{ г.}$

Следовательно, масса товара $a$ заключена в границах от 407,4 г до 432,6 г включительно. Это можно записать в виде двойного неравенства: $407,4 \le a \le 432,6$.

Ответ: масса товара $a$ находится в границах $407,4 \le a \le 432,6$.

43. На коробке конфет указано, что она должна храниться при температуре 16 ± 3 °С. Удовлетворяет ли этому условию температура воздуха, равная:

а) 18 °С;

б) 21 °С;

в) 14,5 °С;

г) 12,5 °С?

Условие хранения конфет задано температурой $16 \pm 3^\circ\text{C}$. Это означает, что допустимый диапазон температур $T$ находится между $16 - 3$ и $16 + 3$ градусами Цельсия.

Сначала определим границы этого диапазона:

• Нижняя граница: $16 - 3 = 13^\circ\text{C}$
• Верхняя граница: $16 + 3 = 19^\circ\text{C}$

Таким образом, условие хранения выполняется, если температура $T$ удовлетворяет двойному неравенству: $13^\circ\text{C} \le T \le 19^\circ\text{C}$.

Теперь проверим каждую из предложенных температур.

а) $18^\circ\text{C}$

Проверим, выполняется ли для этой температуры условие $13 \le 18 \le 19$. Неравенство является верным, так как число $18$ находится в интервале от $13$ до $19$. Следовательно, эта температура удовлетворяет условию хранения.

Ответ: да, удовлетворяет.

б) $21^\circ\text{C}$

Проверим, выполняется ли для этой температуры условие $13 \le 21 \le 19$. Неравенство является неверным, так как $21 > 19$. Следовательно, эта температура не удовлетворяет условию хранения.

Ответ: нет, не удовлетворяет.

в) $14,5^\circ\text{C}$

Проверим, выполняется ли для этой температуры условие $13 \le 14,5 \le 19$. Неравенство является верным, так как число $14,5$ находится в интервале от $13$ до $19$. Следовательно, эта температура удовлетворяет условию хранения.

Ответ: да, удовлетворяет.

г) $12,5^\circ\text{C}$

Проверим, выполняется ли для этой температуры условие $13 \le 12,5 \le 19$. Неравенство является неверным, так как $12,5 < 13$. Следовательно, эта температура не удовлетворяет условию хранения.

Ответ: нет, не удовлетворяет.

44. Определяя массу мешка картофеля с точностью до 1 кг, нашли, что она равна 32 кг. Может ли масса этого мешка, измеренная с точностью до 0,1 кг, оказаться равной:

а) 31,4;

б) 32,5;

в) 33,2;

г) 30,7?

Для начала определим диапазон, в котором находится истинная масса мешка ($M$). Измерение с точностью до 1 кг, давшее результат 32 кг, означает, что истинная масса была округлена до ближайшего целого. Это возможно, если выполняется неравенство:$32 - 0.5 \le M < 32 + 0.5$, то есть истинная масса находится в полуинтервале $[31.5, 32.5)$ кг.

Теперь проверим каждый из предложенных вариантов. Чтобы вариант был возможен, диапазон истинной массы, соответствующий этому варианту, должен пересекаться с основным диапазоном $[31.5, 32.5)$. Если новое измерение с точностью до 0,1 кг дает значение $m_{точное}$, то истинная масса $M$ должна лежать в интервале $m_{точное} \pm (0.1/2)$, то есть $m_{точное} \pm 0.05$.

а) 31,4;
Если бы измеренная масса была 31,4 кг, то истинная масса $M$ находилась бы в диапазоне $31.4 - 0.05 \le M < 31.4 + 0.05$, что соответствует интервалу $[31.35, 31.45)$. Этот интервал не пересекается с основным интервалом $[31.5, 32.5)$.
Ответ: нет.

б) 32,5;
Если бы измеренная масса была 32,5 кг, то истинная масса $M$ находилась бы в диапазоне $32.5 - 0.05 \le M < 32.5 + 0.05$, что соответствует интервалу $[32.45, 32.55)$. Этот интервал пересекается с основным интервалом $[31.5, 32.5)$. Их общая часть — это интервал $[32.45, 32.5)$. Поскольку существует диапазон возможных значений, удовлетворяющий обоим условиям (например, масса 32,48 кг при округлении до целых дает 32 кг, а при округлении до десятых — 32,5 кг), то такое значение возможно.
Ответ: да.

в) 33,2;
Если бы измеренная масса была 33,2 кг, то истинная масса $M$ находилась бы в диапазоне $33.2 - 0.05 \le M < 33.2 + 0.05$, что соответствует интервалу $[33.15, 33.25)$. Этот интервал не пересекается с основным интервалом $[31.5, 32.5)$.
Ответ: нет.

г) 30,7?
Если бы измеренная масса была 30,7 кг, то истинная масса $M$ находилась бы в диапазоне $30.7 - 0.05 \le M < 30.7 + 0.05$, что соответствует интервалу $[30.65, 30.75)$. Этот интервал не пересекается с основным интервалом $[31.5, 32.5)$.
Ответ: нет.

45. Начертите острый угол и измерьте его с помощью транспортира. Какова точность полученного результата?

Начертите острый угол и измерьте его с помощью транспортира.

1. Определение и построение. Острый угол — это угол, градусная мера которого больше $0^\circ$, но меньше $90^\circ$. Чтобы начертить такой угол, сначала поставьте на бумаге точку, которая будет его вершиной (например, точка O). Из этой точки с помощью линейки проведите луч OA — одну из сторон угла. Затем приложите транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой O, а его основание (нулевая отметка) — с лучом OA. Выберите на шкале любое значение меньше $90^\circ$ (например, $55^\circ$) и отметьте соответствующую точку B. Соедините точку B с вершиной O. Полученный угол $\angle AOB$ будет острым.

2. Измерение. Если у вас уже есть начерченный угол, для измерения его величины нужно совместить центр транспортира с вершиной угла, а одну из его сторон — с основанием транспортира (линией $0^\circ$). Вторая сторона угла укажет на шкале его градусную меру. Например, мы начертили и измерили угол, и его величина оказалась равна $55^\circ$.

Ответ: Был начерчен острый угол. После измерения с помощью транспортира его величина составила, например, $55^\circ$.

Какова точность полученного результата?

Точность измерения любым измерительным прибором, имеющим шкалу, определяется его инструментальной погрешностью. Эта погрешность напрямую зависит от цены деления прибора.

1. Цена деления транспортира. У стандартного школьного транспортира шкала разделена на градусы. Наименьшее расстояние между двумя соседними штрихами на шкале соответствует $1^\circ$. Следовательно, цена деления транспортира равна $1^\circ$.

2. Расчет точности (погрешности). Абсолютная погрешность измерения, как правило, принимается равной половине цены деления шкалы прибора.

$ \text{Точность (погрешность)} = \frac{\text{Цена деления}}{2} = \frac{1^\circ}{2} = 0.5^\circ $

Это означает, что реальное значение измеренного угла может отличаться от полученного результата на величину до $0.5^\circ$. Например, если измерение дало результат $55^\circ$, то истинное значение угла $\alpha$ находится в диапазоне:

$ 55^\circ - 0.5^\circ \le \alpha \le 55^\circ + 0.5^\circ $, то есть $ 54.5^\circ \le \alpha \le 55.5^\circ $.

Кроме инструментальной погрешности, на конечный результат могут повлиять и другие факторы: толщина карандашных линий, точность совмещения транспортира с углом и ошибка параллакса (искажение при взгляде на шкалу под углом). Однако, стандартная точность, определяемая самим прибором, составляет $0.5^\circ$.

Ответ: Точность результата, полученного при измерении угла стандартным транспортиром, составляет $0.5^\circ$.

46. При измерении длины стержня пользовались различными измерительными инструментами: линейкой с миллиметровыми делениями, штангенциркулем (цена деления 0,1 мм) и микрометром (цена деления 0,01 мм). При этом были получены результаты: 17,9 мм, 18 мм, 17,86 мм. Каким инструментом выполнено каждое из указанных измерений и какую точность даёт каждый инструмент?

Для решения этой задачи необходимо сопоставить точность записи каждого результата (количество знаков после запятой) с ценой деления каждого измерительного прибора. Правило гласит, что последняя значащая цифра в записи результата измерения должна соответствовать тому же десятичному разряду, что и цена деления прибора.

Каким инструментом выполнено каждое из указанных измерений

Проанализируем предоставленные данные по приборам и результатам:

1. Линейка с миллиметровыми делениями имеет цену деления $1 \text{ мм}$. Измерения, выполненные таким прибором, записываются с точностью до целого миллиметра (без десятичных знаков). Этому условию соответствует результат 18 мм.

2. Штангенциркуль имеет цену деления $0,1 \text{ мм}$. Результаты измерений этим прибором записываются с точностью до десятых долей миллиметра (один знак после запятой). Этому условию соответствует результат 17,9 мм.

3. Микрометр имеет цену деления $0,01 \text{ мм}$. Результаты измерений записываются с точностью до сотых долей миллиметра (два знака после запятой). Этому условию соответствует результат 17,86 мм.

Ответ: Измерение 18 мм выполнено линейкой, измерение 17,9 мм — штангенциркулем, а измерение 17,86 мм — микрометром.

Какую точность даёт каждый инструмент

Точность измерения (или абсолютная погрешность прямого измерения) прибора обычно принимается равной половине его цены деления. Эта величина показывает границы, в которых с высокой вероятностью находится истинное значение измеряемой величины.

1. Для линейки:
Цена деления $c_л = 1 \text{ мм}$.
Точность (погрешность) составляет $\Delta L = \frac{c_л}{2} = \frac{1 \text{ мм}}{2} = 0,5 \text{ мм}$.

2. Для штангенциркуля:
Цена деления $c_ш = 0,1 \text{ мм}$.
Точность (погрешность) составляет $\Delta L = \frac{c_ш}{2} = \frac{0,1 \text{ мм}}{2} = 0,05 \text{ мм}$.

3. Для микрометра:
Цена деления $c_м = 0,01 \text{ мм}$.
Точность (погрешность) составляет $\Delta L = \frac{c_м}{2} = \frac{0,01 \text{ мм}}{2} = 0,005 \text{ мм}$.

Ответ: Линейка обеспечивает точность $\pm 0,5 \text{ мм}$, штангенциркуль — $\pm 0,05 \text{ мм}$, а микрометр — $\pm 0,005 \text{ мм}$.

47. Округлите число 2,525 до десятых. Найдите относительную погрешность приближения, полученного при округлении.

Округление числа 2,525 до десятых

Задано число $x = 2,525$. Для округления до десятых необходимо посмотреть на цифру в следующем разряде, то есть в разряде сотых.
В числе 2,525 в разряде сотых стоит цифра 2.
Согласно правилу округления, если следующая за округляемой цифра меньше 5 (то есть 0, 1, 2, 3 или 4), то округляемая цифра не изменяется, а все последующие отбрасываются.
Поскольку $2 < 5$, мы оставляем цифру 5 в разряде десятых без изменений.
Приближенное значение $a$, полученное в результате округления, равно $2,5$.

Ответ: 2,5.

Нахождение относительной погрешности приближения, полученного при округлении

Относительная погрешность ($\epsilon$) вычисляется как отношение абсолютной погрешности ($\Delta a$) к модулю точного значения числа ($x$).
Формула: $\epsilon = \frac{|\Delta a|}{|x|} = \frac{|x - a|}{|x|}$.
Выполним вычисления по шагам:

1. Найдем абсолютную погрешность. Это модуль разности между точным ($x=2,525$) и приближенным ($a=2,5$) значениями:
$\Delta a = |2,525 - 2,5| = |0,025| = 0,025$.

2. Найдем относительную погрешность, подставив значения в формулу:
$\epsilon = \frac{0,025}{|2,525|} = \frac{0,025}{2,525}$.

3. Упростим полученную дробь. Для этого умножим числитель и знаменатель на 1000, чтобы избавиться от десятичных знаков:
$\epsilon = \frac{0,025 \cdot 1000}{2,525 \cdot 1000} = \frac{25}{2525}$.

4. Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 25:
$\epsilon = \frac{25 \div 25}{2525 \div 25} = \frac{1}{101}$.
Относительную погрешность также можно выразить в процентах: $\epsilon = \frac{1}{101} \cdot 100\% \approx 0,99\%$.

Ответ: $\frac{1}{101}$.