Страница 17 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

48. Выполняя лабораторную работу по определению плотности железа, ученик получил результат 7,6 г/см³. Вычислите относительную погрешность экспериментального результата (табличное значение плотности железа равно 7,8 г/см³).

Относительная погрешность экспериментального результата вычисляется как отношение абсолютной погрешности к истинному (в данном случае табличному) значению измеряемой величины. Обычно её выражают в процентах.

Формула для вычисления относительной погрешности ($\epsilon$) имеет вид:

$\epsilon = \frac{|\rho_{табл} - \rho_{эксп}|}{\rho_{табл}} \times 100\%$

где:

$\rho_{эксп}$ — экспериментально полученное значение плотности железа, равное $7,6 \text{ г/см}^3$.

$\rho_{табл}$ — табличное значение плотности железа, равное $7,8 \text{ г/см}^3$.

1. Сначала вычислим абсолютную погрешность ($\Delta\rho$) — модуль разности между табличным и экспериментальным значениями:

$\Delta\rho = |7,8 \text{ г/см}^3 - 7,6 \text{ г/см}^3| = 0,2 \text{ г/см}^3$.

2. Затем подставим значения в формулу для относительной погрешности:

$\epsilon = \frac{0,2 \text{ г/см}^3}{7,8 \text{ г/см}^3} \times 100\%$

3. Произведем вычисления:

$\epsilon \approx 0,02564 \times 100\% \approx 2,564\%$

4. Округлим полученный результат до десятых долей процента:

$\epsilon \approx 2,6\%$

Ответ: относительная погрешность экспериментального результата составляет примерно $2,6\%$.

49. Поверхность Земли равна 510,2 млн км² (с точностью до 0,1 млн км²). Оцените относительную погрешность приближённого значения.

Для оценки относительной погрешности приближенного значения необходимо найти отношение абсолютной погрешности к самому приближенному значению.

Обозначим приближенное значение поверхности Земли как $a$, а абсолютную погрешность как $\Delta a$. По условию задачи:
$a = 510,2 \text{ млн км}^2$
В условии сказано, что значение дано "с точностью до $0,1 \text{ млн км}^2$". Это означает, что абсолютная погрешность не превышает $0,1 \text{ млн км}^2$. Для оценки относительной погрешности мы принимаем эту величину за абсолютную погрешность:
$\Delta a = 0,1 \text{ млн км}^2$

Относительная погрешность $\delta$ вычисляется по формуле:$$ \delta = \frac{\Delta a}{|a|} $$

Подставим данные значения в формулу:$$ \delta = \frac{0,1}{510,2} $$

Вычислим это значение:$$ \delta = \frac{0,1}{510,2} \approx 0,0001960015... $$

Обычно относительную погрешность для наглядности выражают в процентах. Для этого результат нужно умножить на 100%:$$ \delta \approx 0,000196 \times 100\% = 0,0196\% $$Округлив результат, например, до двух значащих цифр, получаем:$$ \delta \approx 0,0002 \quad \text{или} \quad \delta \approx 0,02\% $$

Ответ: относительная погрешность приближенного значения составляет примерно $0,0002$ или $0,02\%$.

50. Измерили толщину человеческого волоса d и расстояние от Земли до Луны l. Получили d ≈ 0,15 мм с точностью до 0,01 мм и l ≈ 384 000 км с точностью до 500 км. Сравните качество измерений, оценив относительные погрешности.

Для сравнения качества измерений необходимо оценить их относительные погрешности. Качество измерения считается тем выше, чем меньше его относительная погрешность. Относительная погрешность $\epsilon$ — это отношение абсолютной погрешности $\Delta x$ к значению измеряемой величины $x$.

Формула для расчета относительной погрешности:

$\epsilon = \frac{\Delta x}{x}$

Часто относительную погрешность выражают в процентах, умножая полученное значение на 100%.

1. Оценка относительной погрешности измерения толщины волоса

Дано:

• Измеренное значение толщины волоса: $d \approx 0,15$ мм.
• Абсолютная погрешность измерения: $\Delta d = 0,01$ мм.

Рассчитаем относительную погрешность $\epsilon_d$ для этого измерения:

$\epsilon_d = \frac{\Delta d}{d} = \frac{0,01 \text{ мм}}{0,15 \text{ мм}} = \frac{1}{15}$

Переведем в десятичную дробь и проценты:

$\epsilon_d = \frac{1}{15} \approx 0,0667$ или $6,67\%$

2. Оценка относительной погрешности измерения расстояния до Луны

Дано:

• Измеренное значение расстояния до Луны: $l \approx 384\,000$ км.
• Абсолютная погрешность измерения: $\Delta l = 500$ км.

Рассчитаем относительную погрешность $\epsilon_l$ для этого измерения:

$\epsilon_l = \frac{\Delta l}{l} = \frac{500 \text{ км}}{384\,000 \text{ км}} = \frac{5}{3840} = \frac{1}{768}$

Переведем в десятичную дробь и проценты:

$\epsilon_l = \frac{1}{768} \approx 0,0013$ или $0,13\%$

3. Сравнение качества измерений

Теперь сравним полученные относительные погрешности:

$\epsilon_d \approx 6,67\%$

$\epsilon_l \approx 0,13\%$

Так как $0,13\% < 6,67\%$, то $\epsilon_l < \epsilon_d$.

Это означает, что измерение расстояния от Земли до Луны было выполнено с большей точностью (является более качественным), чем измерение толщины волоса, несмотря на то что абсолютная погрешность измерения расстояния ($500$ км) намного больше абсолютной погрешности измерения толщины волоса ($0,01$ мм).

Ответ: Относительная погрешность измерения толщины волоса составляет $\frac{1}{15} \approx 6,7\%$, а относительная погрешность измерения расстояния до Луны — $\frac{1}{768} \approx 0,13\%$. Поскольку относительная погрешность измерения расстояния до Луны меньше, это измерение является более качественным.

51. Сравнивая с нулём значения выражений, ученик получил следующие результаты:

При этом он допустил ошибку. Найдите её и исправьте.

Чтобы найти ошибку, необходимо проверить каждое из четырёх неравенств. Для этого будем сравнивать уменьшаемое и вычитаемое в каждом выражении. Так как в каждом выражении оба числа (уменьшаемое и вычитаемое) положительны, мы можем возвести их в квадрат и сравнить результаты — знак неравенства при этом не изменится.

1. $3\sqrt{2} - \sqrt{7} > 0$

Проверим неравенство $3\sqrt{2} > \sqrt{7}$. Возведём обе части в квадрат: $(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$ и $(\sqrt{7})^2 = 7$. Так как $18 > 7$, то и $3\sqrt{2} > \sqrt{7}$. Следовательно, исходное неравенство верно.

Ответ: Неравенство $3\sqrt{2} - \sqrt{7} > 0$ является верным.

2. $4\sqrt{7} - 9\sqrt{2} < 0$

Проверим неравенство $4\sqrt{7} < 9\sqrt{2}$. Возведём обе части в квадрат: $(4\sqrt{7})^2 = 16 \cdot 7 = 112$ и $(9\sqrt{2})^2 = 81 \cdot 2 = 162$. Так как $112 < 162$, то и $4\sqrt{7} < 9\sqrt{2}$. Следовательно, исходное неравенство верно.

Ответ: Неравенство $4\sqrt{7} - 9\sqrt{2} < 0$ является верным.

3. $6\sqrt{3} - 3\sqrt{6} > 0$

Проверим неравенство $6\sqrt{3} > 3\sqrt{6}$. Возведём обе части в квадрат: $(6\sqrt{3})^2 = 36 \cdot 3 = 108$ и $(3\sqrt{6})^2 = 9 \cdot 6 = 54$. Так как $108 > 54$, то и $6\sqrt{3} > 3\sqrt{6}$. Следовательно, исходное неравенство верно.

Ответ: Неравенство $6\sqrt{3} - 3\sqrt{6} > 0$ является верным.

4. $7\sqrt{11} - 6\sqrt{12} < 0$

Проверим неравенство $7\sqrt{11} < 6\sqrt{12}$. Возведём обе части в квадрат: $(7\sqrt{11})^2 = 49 \cdot 11 = 539$ и $(6\sqrt{12})^2 = 36 \cdot 12 = 432$. Мы видим, что $539 > 432$, поэтому должно выполняться неравенство $7\sqrt{11} > 6\sqrt{12}$. Это означает, что разность $7\sqrt{11} - 6\sqrt{12}$ положительна. Таким образом, неравенство, записанное учеником, неверно. Именно здесь допущена ошибка.

Ответ: Ошибка допущена в неравенстве 4. Правильная запись: $7\sqrt{11} - 6\sqrt{12} > 0$.

52. Докажите неравенство:

а) Чтобы доказать неравенство $6a(a + 1) < (3a + 1)(2a + 1) + a$, преобразуем обе его части, раскрыв скобки и упростив выражения.

1. Упростим левую часть неравенства:
$6a(a + 1) = 6a^2 + 6a$

2. Упростим правую часть неравенства:
$(3a + 1)(2a + 1) + a = (3a \cdot 2a + 3a \cdot 1 + 1 \cdot 2a + 1 \cdot 1) + a = (6a^2 + 3a + 2a + 1) + a = 6a^2 + 5a + 1 + a = 6a^2 + 6a + 1$

3. Подставим упрощенные выражения обратно в исходное неравенство:
$6a^2 + 6a < 6a^2 + 6a + 1$

4. Перенесем все члены из левой части в правую (или вычтем из обеих частей выражение $6a^2 + 6a$):
$0 < (6a^2 + 6a + 1) - (6a^2 + 6a)$
$0 < 1$

Мы получили верное числовое неравенство $0 < 1$, которое не зависит от значения переменной $a$. Это означает, что исходное неравенство справедливо при любых значениях $a$.
Ответ: неравенство доказано.

б) Чтобы доказать неравенство $(2p - 1)(2p + 1) + 3(p + 1) > (4p + 3)p$, также преобразуем обе его части.

1. Упростим левую часть. Выражение $(2p - 1)(2p + 1)$ является разностью квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$(2p - 1)(2p + 1) + 3(p + 1) = ((2p)^2 - 1^2) + (3p + 3) = (4p^2 - 1) + 3p + 3 = 4p^2 + 3p + 2$

2. Упростим правую часть, раскрыв скобки:
$(4p + 3)p = 4p \cdot p + 3 \cdot p = 4p^2 + 3p$

3. Подставим упрощенные выражения в исходное неравенство:
$4p^2 + 3p + 2 > 4p^2 + 3p$

4. Вычтем из обеих частей неравенства выражение $4p^2 + 3p$:
$(4p^2 + 3p + 2) - (4p^2 + 3p) > 0$
$2 > 0$

Мы получили верное числовое неравенство $2 > 0$, которое не зависит от значения переменной $p$. Следовательно, исходное неравенство верно при любых значениях $p$.
Ответ: неравенство доказано.

53. а) Разность корней уравнения x² – 8x + q = 0 равна 16. Найдите q.

б) Сумма квадратов корней уравнения x² – 7x + q = 0 равна 29. Найдите q.

а) Для квадратного уравнения $x^2 - 8x + q = 0$, обозначим его корни как $x_1$ и $x_2$. По условию, разность корней равна 16, то есть $|x_1 - x_2| = 16$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = q$.

В нашем случае $p = -8$, поэтому:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-8) = 8$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$.

Теперь используем тождество, связывающее разность, сумму и произведение корней: $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$.

Подставляем известные нам значения:

$16^2 = 8^2 - 4q$

$256 = 64 - 4q$

Выразим $4q$ из этого уравнения:

$4q = 64 - 256$

$4q = -192$

Находим $q$:

$q = \frac{-192}{4} = -48$

Ответ: $q = -48$.

б) Для квадратного уравнения $x^2 - 7x + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ известно, что сумма их квадратов равна 29, то есть $x_1^2 + x_2^2 = 29$.

Применим теорему Виета. В данном уравнении $p = -7$:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-7) = 7$.

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$.

Используем тождество, которое выражает сумму квадратов корней через их сумму и произведение: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим известные значения в тождество:

$29 = 7^2 - 2q$

$29 = 49 - 2q$

Выразим $2q$ из полученного уравнения:

$2q = 49 - 29$

$2q = 20$

Находим $q$:

$q = \frac{20}{2} = 10$

Ответ: $q = 10$.

1. Назовите основные числовые множества. Запишите последовательность соотношений между этими множествами в виде цепочки включений и проиллюстрируйте её рисунком.

К основным числовым множествам относятся:

Натуральные числа ($N$) — это числа, которые используются при счёте предметов (начиная с 1): $1, 2, 3, \ldots$

Целые числа ($Z$) — это множество, включающее натуральные числа, числа, им противоположные, и ноль: $\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots$ Множество натуральных чисел является частью множества целых чисел.

Рациональные числа ($Q$) — это числа, которые можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ является целым числом ($m \in Z$), а знаменатель $n$ — натуральным числом ($n \in N$). Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1.

Действительные (вещественные) числа ($R$) — это множество, которое является объединением множества рациональных чисел ($Q$) и множества иррациональных чисел ($I$). Иррациональные числа — это вещественные числа, которые не являются рациональными (например, $\pi, \sqrt{2}, e$). Их десятичное представление является бесконечным и непериодическим.

Комплексные числа ($C$) — это расширение множества действительных чисел. Это числа вида $a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа, а $i$ — так называемая мнимая единица, для которой выполняется равенство $i^2 = -1$. Любое действительное число является комплексным (при $b=0$).

Последовательность соотношений между этими множествами в виде цепочки включений выглядит следующим образом:

$N \subset Z \subset Q \subset R \subset C$

Здесь знак $\subset$ означает «является подмножеством». Это значит, что каждое предыдущее множество полностью содержится в следующем.

Иллюстрация этой иерархии в виде диаграммы Эйлера:

Ответ: Основные числовые множества: натуральные ($N$), целые ($Z$), рациональные ($Q$), действительные ($R$) и комплексные ($C$). Последовательность их вложенности (цепочка включений): $N \subset Z \subset Q \subset R \subset C$. Соотношения множеств проиллюстрированы на рисунке.

2. Сформулируйте и запишите в буквенном виде законы сложения и законы умножения чисел.

Законы сложения

1. Переместительный закон сложения. Формулировка: от перестановки мест слагаемых сумма не меняется. Для любых чисел a и b этот закон записывается в виде формулы:

$a + b = b + a$

2. Сочетательный закон сложения. Формулировка: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего. Для любых чисел a, b и c этот закон записывается в виде формулы:

$(a + b) + c = a + (b + c)$

Ответ: Переместительный закон: $a + b = b + a$. Сочетательный закон: $(a + b) + c = a + (b + c)$.

Законы умножения

1. Переместительный закон умножения. Формулировка: от перестановки мест множителей произведение не меняется. Для любых чисел a и b этот закон записывается в виде формулы:

$a \cdot b = b \cdot a$

2. Сочетательный закон умножения. Формулировка: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего. Для любых чисел a, b и c этот закон записывается в виде формулы:

$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$

3. Распределительный закон умножения относительно сложения. Этот закон связывает операции умножения и сложения. Формулировка: чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить. Для любых чисел a, b и c этот закон записывается в виде формулы:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Ответ: Переместительный закон: $a \cdot b = b \cdot a$. Сочетательный закон: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$. Распределительный закон: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.

3. Сформулируйте и запишите в виде буквенного равенства свойства нуля при сложении, свойства нуля и единицы при умножении.

Свойство нуля при сложении

Формулировка: если к любому числу прибавить нуль или к нулю прибавить любое число, то сумма будет равна исходному числу. Это свойство также называют свойством нейтрального элемента для сложения.

В виде буквенного равенства, где a — это любое число, свойство записывается следующим образом:

$a + 0 = 0 + a = a$

Ответ: $a + 0 = a$

Свойство нуля при умножении

Формулировка: произведение любого числа на нуль равно нулю.

В виде буквенного равенства, где a — это любое число, свойство записывается так:

$a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0$

Ответ: $a \cdot 0 = 0$

Свойство единицы при умножении

Формулировка: если любое число умножить на единицу или единицу умножить на любое число, то произведение будет равно исходному числу. Это свойство также называют свойством нейтрального элемента для умножения.

В виде буквенного равенства, где a — это любое число, свойство записывается так:

$a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$

Ответ: $a \cdot 1 = a$

4. Что называется абсолютной погрешностью приближённого значения? Объясните смысл записи x = a ± h.

Что называется абсолютной погрешностью приближенного значения?

Абсолютной погрешностью приближенного значения называется модуль (абсолютная величина) разности между точным значением некоторой величины и её приближённым значением.

Если $x$ — точное значение величины, а $a$ — её приближённое значение, то абсолютная погрешность этого приближения вычисляется по формуле:

$\Delta = |x - a|$

Абсолютная погрешность показывает, насколько велико отклонение приближённого значения от точного, и всегда является неотрицательным числом. Например, если точное значение числа $\pi$ равно $3.14159...$, а в качестве приближения мы используем $a = 3.14$, то абсолютная погрешность равна $|3.14159... - 3.14| = 0.00159...$.

Ответ: Абсолютной погрешностью приближенного значения $a$ некоторой величины $x$ называется модуль разности между точным значением $x$ и приближенным значением $a$, то есть $|x - a|$.

Объясните смысл записи $x = a \pm h$.

Запись $x = a \pm h$ используется для представления приближённого значения величины с указанием его точности. В этой записи:

• $x$ — точное (истинное) значение измеряемой или вычисляемой величины.
• $a$ — приближённое значение этой величины, полученное в результате измерения или вычисления.
• $h$ — предельная абсолютная погрешность (или точность приближения). Это положительное число, которое показывает максимальную возможную величину ошибки.

Смысл этой записи заключается в том, что абсолютная погрешность приближения $a$ не превышает $h$. Математически это выражается неравенством:

$|x - a| \le h$

Это неравенство, в свою очередь, равносильно двойному неравенству:

$a - h \le x \le a + h$

Таким образом, запись $x = a \pm h$ означает, что точное значение $x$ находится где-то в интервале от $a - h$ (приближение с недостатком) до $a + h$ (приближение с избытком). Например, если длина стержня записана как $L = 25.4 \pm 0.1$ см, это значит, что его истинная длина находится в пределах от $25.3$ см до $25.5$ см.

Ответ: Запись $x = a \pm h$ означает, что точное значение величины $x$ находится в интервале от $a-h$ до $a+h$, то есть удовлетворяет неравенству $a - h \le x \le a + h$. Здесь $a$ — приближенное значение, а $h$ — предельная абсолютная погрешность (точность приближения).

5. Что называется относительной погрешностью приближённого значения?

Относительная погрешность приближённого значения — это величина, которая характеризует точность приближения по отношению к самой измеряемой величине. Она определяется как отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения.

Пусть $x$ — это точное значение некоторой величины, а $a$ — её приближённое значение. Сначала находят абсолютную погрешность $\Delta a$, которая представляет собой модуль разности между точным и приближённым значениями:
$\Delta a = |x - a|$

Затем, для нахождения относительной погрешности (которую часто обозначают греческими буквами $\delta_a$ или $\varepsilon_a$), абсолютную погрешность делят на модуль приближённого значения $a$ (при условии, что $a \neq 0$):
$\delta_a = \frac{\Delta a}{|a|} = \frac{|x - a|}{|a|}$

Ключевое отличие и преимущество относительной погрешности заключается в том, что она является безразмерной величиной. Её часто выражают в процентах, для чего полученное значение умножают на 100%. Это позволяет объективно сравнивать точность различных измерений, даже если они относятся к величинам разного масштаба. Например, абсолютная погрешность в 1 кг может быть очень большой при взвешивании новорожденного, но совершенно незначительной при определении массы автомобиля. Относительная погрешность в этих двух случаях наглядно покажет, какое из измерений было более точным.

Ответ: Относительной погрешностью приближённого значения называется отношение абсолютной погрешности этого приближения к модулю самого приближённого значения.