Страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

29. Сравните числа:

а) 5,48(5) и 5,4(85);

б) –3,5(61) и –3,56(1).

а)

Для сравнения двух периодических десятичных дробей $5,48(5)$ и $5,4(85)$, запишем их в развернутом виде, выписав несколько знаков после запятой, чтобы найти первое различие в разрядах.

Первое число: $5,48(5) = 5,485555...$

Второе число: $5,4(85) = 5,485858...$

Теперь сравним эти числа поразрядно, начиная с целой части и двигаясь вправо. Целые части, а также цифры в разрядах десятых, сотых и тысячных у этих чисел совпадают: $5,485...$ и $5,485...$. Первое различие появляется в разряде десятитысячных: у первого числа это цифра $5$, а у второго — цифра $8$.

Так как $5 < 8$, то и число $5,485555...$ меньше числа $5,485858...$.

Следовательно, $5,48(5) < 5,4(85)$.

Ответ: $5,48(5) < 5,4(85)$.

б)

Для сравнения двух отрицательных периодических дробей $-3,5(61)$ и $-3,56(1)$, сначала сравним их модули (абсолютные величины): $3,5(61)$ и $3,56(1)$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Запишем модули чисел в развернутом виде:

Модуль первого числа: $|-3,5(61)| = 3,5(61) = 3,5616161...$

Модуль второго числа: $|-3,56(1)| = 3,56(1) = 3,5611111...$

Сравним эти числа поразрядно. Целые части, а также цифры в разрядах десятых, сотых и тысячных у этих чисел совпадают: $3,561...$ и $3,561...$. Первое различие появляется в разряде десятитысячных: у первого числа это цифра $6$, а у второго — цифра $1$.

Так как $6 > 1$, то $3,5616161... > 3,5611111...$. Это означает, что $3,5(61) > 3,56(1)$.

Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, знак неравенства меняется на противоположный: если $a > b$, то $-a < -b$.

Следовательно, $-3,5(61) < -3,56(1)$.

Ответ: $-3,5(61) < -3,56(1)$.

30. Найдите два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число: 3; 5; 8; 10; 20; 50; 75.

Для того чтобы найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено иррациональное число вида $ \sqrt{x} $, необходимо найти такое натуральное число $ n $, для которого выполняется двойное неравенство $ n < \sqrt{x} < n+1 $. Это неравенство равносильно неравенству $ n^2 < x < (n+1)^2 $. Таким образом, задача сводится к нахождению двух последовательных полных квадратов, между которыми находится подкоренное выражение $ x $.

$ \sqrt{3} $:

Ищем два последовательных натуральных числа $ n $ и $ n+1 $, такие что $ n^2 < 3 < (n+1)^2 $.

Рассмотрим квадраты натуральных чисел: $ 1^2 = 1 $, $ 2^2 = 4 $.

Мы видим, что $ 1 < 3 < 4 $. Следовательно, $ \sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4} $, что означает $ 1 < \sqrt{3} < 2 $.

Искомые числа – 1 и 2.

Ответ: 1 и 2.

$ \sqrt{5} $:

Ищем два последовательных натуральных числа $ n $ и $ n+1 $, такие что $ n^2 < 5 < (n+1)^2 $.

Рассмотрим квадраты натуральных чисел: $ 2^2 = 4 $, $ 3^2 = 9 $.

Мы видим, что $ 4 < 5 < 9 $. Следовательно, $ \sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9} $, что означает $ 2 < \sqrt{5} < 3 $.

Искомые числа – 2 и 3.

Ответ: 2 и 3.

$ \sqrt{8} $:

Ищем два последовательных натуральных числа $ n $ и $ n+1 $, такие что $ n^2 < 8 < (n+1)^2 $.

Рассмотрим квадраты натуральных чисел: $ 2^2 = 4 $, $ 3^2 = 9 $.

Мы видим, что $ 4 < 8 < 9 $. Следовательно, $ \sqrt{4} < \sqrt{8} < \sqrt{9} $, что означает $ 2 < \sqrt{8} < 3 $.

Искомые числа – 2 и 3.

Ответ: 2 и 3.

$ \sqrt{10} $:

Ищем два последовательных натуральных числа $ n $ и $ n+1 $, такие что $ n^2 < 10 < (n+1)^2 $.

Рассмотрим квадраты натуральных чисел: $ 3^2 = 9 $, $ 4^2 = 16 $.

Мы видим, что $ 9 < 10 < 16 $. Следовательно, $ \sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16} $, что означает $ 3 < \sqrt{10} < 4 $.

Искомые числа – 3 и 4.

Ответ: 3 и 4.

$ \sqrt{20} $:

Ищем два последовательных натуральных числа $ n $ и $ n+1 $, такие что $ n^2 < 20 < (n+1)^2 $.

Рассмотрим квадраты натуральных чисел: $ 4^2 = 16 $, $ 5^2 = 25 $.

Мы видим, что $ 16 < 20 < 25 $. Следовательно, $ \sqrt{16} < \sqrt{20} < \sqrt{25} $, что означает $ 4 < \sqrt{20} < 5 $.

Искомые числа – 4 и 5.

Ответ: 4 и 5.

$ \sqrt{50} $:

Ищем два последовательных натуральных числа $ n $ и $ n+1 $, такие что $ n^2 < 50 < (n+1)^2 $.

Рассмотрим квадраты натуральных чисел: $ 7^2 = 49 $, $ 8^2 = 64 $.

Мы видим, что $ 49 < 50 < 64 $. Следовательно, $ \sqrt{49} < \sqrt{50} < \sqrt{64} $, что означает $ 7 < \sqrt{50} < 8 $.

Искомые числа – 7 и 8.

Ответ: 7 и 8.

$ \sqrt{75} $:

Ищем два последовательных натуральных числа $ n $ и $ n+1 $, такие что $ n^2 < 75 < (n+1)^2 $.

Рассмотрим квадраты натуральных чисел: $ 8^2 = 64 $, $ 9^2 = 81 $.

Мы видим, что $ 64 < 75 < 81 $. Следовательно, $ \sqrt{64} < \sqrt{75} < \sqrt{81} $, что означает $ 8 < \sqrt{75} < 9 $.

Искомые числа – 8 и 9.

Ответ: 8 и 9.

31. Сравните числа с и с при условии, что: а) с › 1; б) 0 ‹ с ‹ 1. Существует ли значение с, при котором верно равенство с = с?

Для сравнения чисел $c$ и $\sqrt{c}$ рассмотрим их разность $c - \sqrt{c}$ и определим ее знак в зависимости от значения $c$. Поскольку по определению арифметического квадратного корня $c \ge 0$, мы можем представить $c$ как $(\sqrt{c})^2$.

Тогда разность можно преобразовать, вынеся общий множитель $\sqrt{c}$ за скобки:

$c - \sqrt{c} = (\sqrt{c})^2 - \sqrt{c} = \sqrt{c}(\sqrt{c} - 1)$

Знак этого выражения зависит от знаков множителей $\sqrt{c}$ и $(\sqrt{c} - 1)$.

а) При условии, что $c > 1$.

Если $c > 1$, то извлекая квадратный корень из обеих частей неравенства, получаем $\sqrt{c} > \sqrt{1}$, то есть $\sqrt{c} > 1$. Рассмотрим множители в выражении $\sqrt{c}(\sqrt{c} - 1)$:

• Первый множитель $\sqrt{c}$ положителен.
• Второй множитель $(\sqrt{c} - 1)$ также положителен, так как $\sqrt{c} > 1$.

Произведение двух положительных чисел является положительным числом, следовательно, $c - \sqrt{c} > 0$. Из этого следует, что $c > \sqrt{c}$.

Ответ: при $c > 1$ выполняется неравенство $c > \sqrt{c}$.

б) При условии, что $0 < c < 1$.

Если $0 < c < 1$, то извлекая квадратный корень из всех частей двойного неравенства, получаем $\sqrt{0} < \sqrt{c} < \sqrt{1}$, то есть $0 < \sqrt{c} < 1$. Рассмотрим множители в выражении $\sqrt{c}(\sqrt{c} - 1)$:

• Первый множитель $\sqrt{c}$ положителен.
• Второй множитель $(\sqrt{c} - 1)$ отрицателен, так как $\sqrt{c} < 1$.

Произведение положительного и отрицательного чисел является отрицательным числом, следовательно, $c - \sqrt{c} < 0$. Из этого следует, что $c < \sqrt{c}$.

Ответ: при $0 < c < 1$ выполняется неравенство $c < \sqrt{c}$.

Теперь ответим на вопрос, существует ли значение $c$, при котором верно равенство $\sqrt{c} = c$.

Равенство $\sqrt{c} = c$ эквивалентно уравнению $c - \sqrt{c} = 0$. Используя преобразование, выполненное ранее, получаем:

$\sqrt{c}(\sqrt{c} - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, мы получаем два случая:

1) $\sqrt{c} = 0$, что дает $c = 0$.
2) $\sqrt{c} - 1 = 0$, откуда $\sqrt{c} = 1$, что дает $c = 1$.

Проверка подтверждает, что оба значения являются решениями: при $c=0$, $\sqrt{0} = 0$ (верно); при $c=1$, $\sqrt{1} = 1$ (верно). Значит, такие значения $c$ существуют.

Ответ: да, существует. Равенство $\sqrt{c} = c$ верно при $c=0$ и при $c=1$.

32. Сравните числа:

а) Чтобы сравнить числа $5\sqrt{3}$ и $3\sqrt{5}$, представим их в виде квадратных корней. Для этого внесем множитель, стоящий перед корнем, под знак корня, предварительно возведя его в квадрат.

Для первого числа: $5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$.

Для второго числа: $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$.

Теперь сравним полученные значения: $\sqrt{75}$ и $\sqrt{45}$. Поскольку функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей, большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня. Так как $75 > 45$, то $\sqrt{75} > \sqrt{45}$.

Следовательно, $5\sqrt{3} > 3\sqrt{5}$.

Ответ: $5\sqrt{3} > 3\sqrt{5}$.

б) Сравним числа $0,1\sqrt{4500}$ и $\sqrt{45}$. Внесем множитель $0,1$ под знак корня в первом выражении.

$0,1\sqrt{4500} = \sqrt{0,1^2 \cdot 4500} = \sqrt{0,01 \cdot 4500} = \sqrt{45}$.

Другой способ — это упростить корень: $0,1\sqrt{4500} = 0,1\sqrt{100 \cdot 45} = 0,1 \cdot \sqrt{100} \cdot \sqrt{45} = 0,1 \cdot 10 \cdot \sqrt{45} = \sqrt{45}$.

В результате мы сравниваем $\sqrt{45}$ и $\sqrt{45}$, которые, очевидно, равны.

Ответ: $0,1\sqrt{4500} = \sqrt{45}$.

в) Сравним числа $0,3\sqrt{10}$ и $0,1\sqrt{80}$. Внесем множители под знак корня.

Для первого числа: $0,3\sqrt{10} = \sqrt{0,3^2 \cdot 10} = \sqrt{0,09 \cdot 10} = \sqrt{0,9}$.

Для второго числа: $0,1\sqrt{80} = \sqrt{0,1^2 \cdot 80} = \sqrt{0,01 \cdot 80} = \sqrt{0,8}$.

Теперь сравним подкоренные выражения: $0,9$ и $0,8$. Поскольку $0,9 > 0,8$, то и $\sqrt{0,9} > \sqrt{0,8}$.

Следовательно, $0,3\sqrt{10} > 0,1\sqrt{80}$.

Ответ: $0,3\sqrt{10} > 0,1\sqrt{80}$.

г) Сравним отрицательные числа $-4\sqrt{0,2}$ и $-\sqrt{0,7}$. Для этого сначала сравним их модули (положительные значения): $4\sqrt{0,2}$ и $\sqrt{0,7}$.

Внесем множитель $4$ под знак корня: $4\sqrt{0,2} = \sqrt{4^2 \cdot 0,2} = \sqrt{16 \cdot 0,2} = \sqrt{3,2}$.

Теперь сравним $\sqrt{3,2}$ и $\sqrt{0,7}$. Так как подкоренное выражение $3,2$ больше, чем $0,7$, то $\sqrt{3,2} > \sqrt{0,7}$, а значит $4\sqrt{0,2} > \sqrt{0,7}$.

При сравнении отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Так как $|-4\sqrt{0,2}| > |-\sqrt{0,7}|$, то, умножая неравенство $4\sqrt{0,2} > \sqrt{0,7}$ на $-1$, мы меняем знак неравенства на противоположный.

Получаем: $-4\sqrt{0,2} < -\sqrt{0,7}$.

Ответ: $-4\sqrt{0,2} < -\sqrt{0,7}$.

33. Найдите значение выражения:

a) $12\frac{2}{5} - 2\frac{2}{7} : 1\frac{19}{21}$

В этом выражении, согласно порядку выполнения арифметических действий, сначала выполняется деление, а затем вычитание.

1. Выполним деление $2\frac{2}{7} : 1\frac{19}{21}$. Для этого представим смешанные числа в виде неправильных дробей:

$2\frac{2}{7} = \frac{2 \times 7 + 2}{7} = \frac{16}{7}$

$1\frac{19}{21} = \frac{1 \times 21 + 19}{21} = \frac{40}{21}$

Теперь выполним деление. Деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь:

$\frac{16}{7} : \frac{40}{21} = \frac{16}{7} \cdot \frac{21}{40} = \frac{16 \cdot 21}{7 \cdot 40}$

Сократим дробь: 16 и 40 делятся на 8, а 21 и 7 делятся на 7.

$\frac{^2\cancel{16} \cdot ^3\cancel{21}}{^1\cancel{7} \cdot ^5\cancel{40}} = \frac{2 \cdot 3}{1 \cdot 5} = \frac{6}{5}$

2. Теперь выполним вычитание. Подставим результат деления в исходное выражение:

$12\frac{2}{5} - \frac{6}{5}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{6}{5}$ в смешанное число: $\frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$.

$12\frac{2}{5} - 1\frac{1}{5} = (12 - 1) + (\frac{2}{5} - \frac{1}{5}) = 11 + \frac{1}{5} = 11\frac{1}{5}$

Ответ: $11\frac{1}{5}$.

б) $(12\frac{2}{5} - 2\frac{2}{7}) : 1\frac{19}{21}$

В этом выражении, из-за наличия скобок, сначала выполняется вычитание, а затем деление.

1. Выполним вычитание в скобках: $12\frac{2}{5} - 2\frac{2}{7}$. Сначала приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 7 — это 35.

$12\frac{2}{5} = 12\frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 7} = 12\frac{14}{35}$

$2\frac{2}{7} = 2\frac{2 \cdot 5}{7 \cdot 5} = 2\frac{10}{35}$

Теперь вычитаем смешанные числа:

$12\frac{14}{35} - 2\frac{10}{35} = (12 - 2) + (\frac{14}{35} - \frac{10}{35}) = 10 + \frac{4}{35} = 10\frac{4}{35}$

2. Теперь выполним деление. Подставим результат вычитания в выражение:

$10\frac{4}{35} : 1\frac{19}{21}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$10\frac{4}{35} = \frac{10 \times 35 + 4}{35} = \frac{354}{35}$

$1\frac{19}{21} = \frac{1 \times 21 + 19}{21} = \frac{40}{21}$

Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$\frac{354}{35} : \frac{40}{21} = \frac{354}{35} \cdot \frac{21}{40} = \frac{354 \cdot 21}{35 \cdot 40}$

Сократим дробь: 354 и 40 делятся на 2, а 21 и 35 делятся на 7.

$\frac{^{177}\cancel{354} \cdot ^3\cancel{21}}{^5\cancel{35} \cdot ^{20}\cancel{40}} = \frac{177 \cdot 3}{5 \cdot 20} = \frac{531}{100}$

3. Преобразуем полученную неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{531}{100} = 5\frac{31}{100}$

Ответ: $5\frac{31}{100}$.

34. Найдите сумму, разность, произведение и частное чисел:

а)

Даны числа $a = 2,4 \cdot 10^{-2}$ и $b = 0,0125 \cdot 10^{3}$.
Сначала преобразуем их в десятичные дроби:
$a = 2,4 \cdot 10^{-2} = 0,024$.
$b = 0,0125 \cdot 10^{3} = 12,5$.

Сумма:
$a + b = 0,024 + 12,5 = 12,524$.

Разность:
$a - b = 0,024 - 12,5 = -12,476$.

Произведение:
$a \cdot b = (2,4 \cdot 10^{-2}) \cdot (0,0125 \cdot 10^{3}) = (2,4 \cdot 10^{-2}) \cdot (1,25 \cdot 10^{1}) = (2,4 \cdot 1,25) \cdot 10^{-2+1} = 3 \cdot 10^{-1} = 0,3$.

Частное:
$\frac{a}{b} = \frac{2,4 \cdot 10^{-2}}{12,5} = \frac{2,4 \cdot 10^{-2}}{1,25 \cdot 10^{1}} = \frac{2,4}{1,25} \cdot 10^{-2-1} = 1,92 \cdot 10^{-3} = 0,00192$.

Ответ: сумма $12,524$; разность $-12,476$; произведение $0,3$; частное $0,00192$.

б)

Даны числа $a = (1,3 \cdot 10^{-2})^2$ и $b = 5,2 \cdot 10^{-5}$.
Сначала упростим первое число:
$a = (1,3 \cdot 10^{-2})^2 = 1,3^2 \cdot (10^{-2})^2 = 1,69 \cdot 10^{-4}$.

Сумма и разность:
Для сложения и вычитания приведем числа к одному показателю степени $10^{-4}$:
$b = 5,2 \cdot 10^{-5} = 0,52 \cdot 10^{-4}$.
Сумма: $a + b = 1,69 \cdot 10^{-4} + 0,52 \cdot 10^{-4} = (1,69 + 0,52) \cdot 10^{-4} = 2,21 \cdot 10^{-4}$.
Разность: $a - b = 1,69 \cdot 10^{-4} - 0,52 \cdot 10^{-4} = (1,69 - 0,52) \cdot 10^{-4} = 1,17 \cdot 10^{-4}$.

Произведение:
$a \cdot b = (1,69 \cdot 10^{-4}) \cdot (5,2 \cdot 10^{-5}) = (1,69 \cdot 5,2) \cdot 10^{-4+(-5)} = 8,788 \cdot 10^{-9}$.

Частное:
$\frac{a}{b} = \frac{1,69 \cdot 10^{-4}}{5,2 \cdot 10^{-5}} = \frac{1,69}{5,2} \cdot 10^{-4 - (-5)} = 0,325 \cdot 10^{1} = 3,25$.

Ответ: сумма $2,21 \cdot 10^{-4}$; разность $1,17 \cdot 10^{-4}$; произведение $8,788 \cdot 10^{-9}$; частное $3,25$.

в)

Даны числа $a = 15,4 \cdot 10^{6}$ и $b = 0,044 \cdot 10^{7}$.

Сумма и разность:
Для удобства вычислений приведем числа к одному показателю степени $10^6$:
$a = 15,4 \cdot 10^{6}$.
$b = 0,044 \cdot 10^{7} = 0,044 \cdot 10 \cdot 10^{6} = 0,44 \cdot 10^{6}$.
Сумма: $a + b = 15,4 \cdot 10^{6} + 0,44 \cdot 10^{6} = (15,4 + 0,44) \cdot 10^{6} = 15,84 \cdot 10^{6} = 1,584 \cdot 10^{7}$.
Разность: $a - b = 15,4 \cdot 10^{6} - 0,44 \cdot 10^{6} = (15,4 - 0,44) \cdot 10^{6} = 14,96 \cdot 10^{6} = 1,496 \cdot 10^{7}$.

Произведение:
$a \cdot b = (15,4 \cdot 10^{6}) \cdot (0,44 \cdot 10^{6}) = (15,4 \cdot 0,44) \cdot 10^{6+6} = 6,776 \cdot 10^{12}$.

Частное:
$\frac{a}{b} = \frac{15,4 \cdot 10^{6}}{0,44 \cdot 10^{6}} = \frac{15,4}{0,44} = \frac{1540}{44} = 35$.

Ответ: сумма $1,584 \cdot 10^{7}$; разность $1,496 \cdot 10^{7}$; произведение $6,776 \cdot 10^{12}$; частное $35$.

г)

Даны числа $a = (3,5 \cdot 10^{-3})^2$ и $b = (7 \cdot 10^{-4})^2$.
Сначала упростим выражения для чисел:
$a = (3,5 \cdot 10^{-3})^2 = 3,5^2 \cdot (10^{-3})^2 = 12,25 \cdot 10^{-6}$.
$b = (7 \cdot 10^{-4})^2 = 7^2 \cdot (10^{-4})^2 = 49 \cdot 10^{-8}$.

Сумма и разность:
Приведем числа к одному показателю степени $10^{-6}$:
$b = 49 \cdot 10^{-8} = 0,49 \cdot 10^{-6}$.
Сумма: $a + b = 12,25 \cdot 10^{-6} + 0,49 \cdot 10^{-6} = (12,25 + 0,49) \cdot 10^{-6} = 12,74 \cdot 10^{-6} = 1,274 \cdot 10^{-5}$.
Разность: $a - b = 12,25 \cdot 10^{-6} - 0,49 \cdot 10^{-6} = (12,25 - 0,49) \cdot 10^{-6} = 11,76 \cdot 10^{-6} = 1,176 \cdot 10^{-5}$.

Произведение:
$a \cdot b = (12,25 \cdot 10^{-6}) \cdot (49 \cdot 10^{-8}) = (12,25 \cdot 49) \cdot 10^{-6-8} = 600,25 \cdot 10^{-14} = 6,0025 \cdot 10^{-12}$.

Частное:
Для нахождения частного воспользуемся свойством степеней: $\frac{x^n}{y^n} = (\frac{x}{y})^n$.
$\frac{a}{b} = \frac{(3,5 \cdot 10^{-3})^2}{(7 \cdot 10^{-4})^2} = \left(\frac{3,5 \cdot 10^{-3}}{7 \cdot 10^{-4}}\right)^2 = \left(\frac{3,5}{7} \cdot 10^{-3 - (-4)}\right)^2 = (0,5 \cdot 10^{1})^2 = 5^2 = 25$.

Ответ: сумма $1,274 \cdot 10^{-5}$; разность $1,176 \cdot 10^{-5}$; произведение $6,0025 \cdot 10^{-12}$; частное $25$.

35. Найдите значение выражения:

а) Для нахождения значения выражения $7^5 \cdot (7^2)^4 : 7^{11}$ необходимо последовательно применить свойства степеней.

1. Сначала используем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(7^2)^4 = 7^{2 \cdot 4} = 7^8$.

2. Теперь выражение имеет вид: $7^5 \cdot 7^8 : 7^{11}$.

3. Далее применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$7^5 \cdot 7^8 = 7^{5+8} = 7^{13}$.

4. На последнем шаге используем правило деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$7^{13} : 7^{11} = 7^{13-11} = 7^2$.

5. Вычисляем результат:

$7^2 = 49$.

Ответ: 49

б) В выражении $11^{-4} : 11^{13} : 11^{17}$ операции деления выполняются последовательно слева направо, используя правило $a^m : a^n = a^{m-n}$.

1. Выполняем первое деление:

$11^{-4} : 11^{13} = 11^{-4 - 13} = 11^{-17}$.

2. Выполняем второе деление:

$11^{-17} : 11^{17} = 11^{-17 - 17} = 11^{-34}$.

Ответ: $11^{-34}$

в) В выражении $5^9 : 5^{-12} : 5^{20}$ операции деления также выполняются последовательно слева направо.

1. Первое деление. При вычитании отрицательного числа знак меняется на противоположный:

$5^9 : 5^{-12} = 5^{9 - (-12)} = 5^{9+12} = 5^{21}$.

2. Второе деление:

$5^{21} : 5^{20} = 5^{21-20} = 5^1 = 5$.

Ответ: 5

г) Для решения выражения $10 : (5^{-2})^{13} : 25^{14}$ сначала упростим его компоненты.

1. Упростим степени:

$(5^{-2})^{13} = 5^{-2 \cdot 13} = 5^{-26}$.

$25^{14} = (5^2)^{14} = 5^{2 \cdot 14} = 5^{28}$.

2. Представим число $10$ как произведение $2 \cdot 5$.

3. Выражение принимает вид: $(2 \cdot 5) : 5^{-26} : 5^{28}$.

4. Выполняем операции слева направо:

$(2 \cdot 5^1) : 5^{-26} = 2 \cdot (5^1 : 5^{-26}) = 2 \cdot 5^{1 - (-26)} = 2 \cdot 5^{27}$.

$(2 \cdot 5^{27}) : 5^{28} = 2 \cdot (5^{27} : 5^{28}) = 2 \cdot 5^{27-28} = 2 \cdot 5^{-1}$.

5. Вычисляем итоговое значение, используя свойство $a^{-n} = 1/a^n$:

$2 \cdot 5^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5} = 0.4$.

Ответ: 0.4

д) Рассмотрим выражение с дробями $\frac{15^5}{3^3 \cdot 5^4} : \frac{12^5}{3^6 \cdot 4^6}$.

1. Деление дробей заменяется на умножение на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{15^5}{3^3 \cdot 5^4} \cdot \frac{3^6 \cdot 4^6}{12^5}$.

2. Разложим основания степеней $15$ и $12$ на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$, $12 = 3 \cdot 4$.

3. Подставим разложения в выражение:

$\frac{(3 \cdot 5)^5}{3^3 \cdot 5^4} \cdot \frac{3^6 \cdot 4^6}{(3 \cdot 4)^5} = \frac{3^5 \cdot 5^5}{3^3 \cdot 5^4} \cdot \frac{3^6 \cdot 4^6}{3^5 \cdot 4^5}$.

4. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правила умножения и деления степеней:

$\frac{3^5 \cdot 3^6}{3^3 \cdot 3^5} \cdot \frac{5^5}{5^4} \cdot \frac{4^6}{4^5} = 3^{(5+6)-(3+5)} \cdot 5^{5-4} \cdot 4^{6-5} = 3^{11-8} \cdot 5^1 \cdot 4^1 = 3^3 \cdot 5 \cdot 4$.

5. Вычислим результат:

$27 \cdot 5 \cdot 4 = 27 \cdot 20 = 540$.

Ответ: 540

е) Рассмотрим выражение $\frac{10^{10}}{2^8 \cdot 5^9} : \frac{17^6 \cdot 8^3}{34^7}$.

1. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{10^{10}}{2^8 \cdot 5^9} \cdot \frac{34^7}{17^6 \cdot 8^3}$.

2. Разложим основания $10$, $34$ и $8$ на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$, $34 = 2 \cdot 17$, $8 = 2^3$.

3. Подставим разложения в выражение:

$\frac{(2 \cdot 5)^{10}}{2^8 \cdot 5^9} \cdot \frac{(2 \cdot 17)^7}{17^6 \cdot (2^3)^3} = \frac{2^{10} \cdot 5^{10}}{2^8 \cdot 5^9} \cdot \frac{2^7 \cdot 17^7}{17^6 \cdot 2^9}$.

4. Перегруппируем множители, чтобы объединить степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{2^{10} \cdot 2^7 \cdot 5^{10} \cdot 17^7}{2^8 \cdot 2^9 \cdot 5^9 \cdot 17^6} = \frac{2^{10+7} \cdot 5^{10} \cdot 17^7}{2^{8+9} \cdot 5^9 \cdot 17^6} = \frac{2^{17} \cdot 5^{10} \cdot 17^7}{2^{17} \cdot 5^9 \cdot 17^6}$.

5. Сократим дробь, вычитая показатели степеней:

$2^{17-17} \cdot 5^{10-9} \cdot 17^{7-6} = 2^0 \cdot 5^1 \cdot 17^1$.

6. Учитывая, что $2^0=1$, вычисляем конечный результат:

$1 \cdot 5 \cdot 17 = 85$.

Ответ: 85

36. Вычислите:

а) Для вычисления значения выражения $\frac{27^5 + 27^4}{9^8 + 9^7 + 9^6}$ приведем все степени к одному основанию 3, так как $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$.
Запишем выражение в новом виде: $\frac{(3^3)^5 + (3^3)^4}{(3^2)^8 + (3^2)^7 + (3^2)^6}$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $\frac{3^{15} + 3^{12}}{3^{16} + 3^{14} + 3^{12}}$.
Вынесем за скобки в числителе и знаменателе наименьшую степень ($3^{12}$):
$\frac{3^{12}(3^{15-12} + 3^{12-12})}{3^{12}(3^{16-12} + 3^{14-12} + 3^{12-12})} = \frac{3^{12}(3^3 + 1)}{3^{12}(3^4 + 3^2 + 1)}$.
Сократим дробь на общий множитель $3^{12}$: $\frac{3^3 + 1}{3^4 + 3^2 + 1}$.
Теперь вычислим значения в числителе и знаменателе: $\frac{27 + 1}{81 + 9 + 1} = \frac{28}{91}$.
Сократим полученную дробь. Общий делитель для 28 и 91 равен 7: $\frac{28 \div 7}{91 \div 7} = \frac{4}{13}$.
Ответ: $\frac{4}{13}$.

б) Рассмотрим выражение $\frac{16^7 + 16^6}{8^{10} + 8^9 + 8^8}$. Приведем все степени к основанию 2, так как $16 = 2^4$ и $8 = 2^3$.
Выражение примет вид: $\frac{(2^4)^7 + (2^4)^6}{(2^3)^{10} + (2^3)^9 + (2^3)^8} = \frac{2^{28} + 2^{24}}{2^{30} + 2^{27} + 2^{24}}$.
Вынесем за скобки в числителе и знаменателе наименьшую степень ($2^{24}$):
$\frac{2^{24}(2^{28-24} + 2^{24-24})}{2^{24}(2^{30-24} + 2^{27-24} + 2^{24-24})} = \frac{2^{24}(2^4 + 1)}{2^{24}(2^6 + 2^3 + 1)}$.
Сократим общий множитель $2^{24}$: $\frac{2^4 + 1}{2^6 + 2^3 + 1}$.
Вычислим значения в числителе и знаменателе: $\frac{16 + 1}{64 + 8 + 1} = \frac{17}{73}$.
Числа 17 и 73 являются взаимно простыми, поэтому дробь несократима.
Ответ: $\frac{17}{73}$.

в) Рассмотрим выражение $\frac{4^{95} + 4^{94} + 4^{93}}{21 \cdot (16^2)^{23}}$.
Сначала преобразуем числитель, вынеся за скобки общий множитель с наименьшей степенью $4^{93}$:
$4^{93}(4^2 + 4^1 + 1) = 4^{93}(16 + 4 + 1) = 4^{93} \cdot 21$.
Теперь преобразуем знаменатель. Сначала упростим степень: $(16^2)^{23} = 16^{2 \cdot 23} = 16^{46}$.
Приведем основание 16 к основанию 4, так как $16=4^2$. Тогда $16^{46} = (4^2)^{46} = 4^{2 \cdot 46} = 4^{92}$.
Таким образом, знаменатель равен $21 \cdot 4^{92}$.
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в исходную дробь:
$\frac{4^{93} \cdot 21}{21 \cdot 4^{92}}$.
Сократим на 21: $\frac{4^{93}}{4^{92}}$.
По свойству деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ получаем: $4^{93-92} = 4^1 = 4$.
Ответ: 4.