Номер 35, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Сравнение действительных чисел. Параграф 1. Действительные числа. Глава 1. Числа и вычисления - номер 35, страница 13.

Условие.

35. Найдите значение выражения:

Решение 1.

Решение 8.

а) Для нахождения значения выражения $7^5 \cdot (7^2)^4 : 7^{11}$ необходимо последовательно применить свойства степеней.

1. Сначала используем правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$(7^2)^4 = 7^{2 \cdot 4} = 7^8$.

2. Теперь выражение имеет вид: $7^5 \cdot 7^8 : 7^{11}$.

3. Далее применяем правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$7^5 \cdot 7^8 = 7^{5+8} = 7^{13}$.

4. На последнем шаге используем правило деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$7^{13} : 7^{11} = 7^{13-11} = 7^2$.

5. Вычисляем результат:

$7^2 = 49$.

Ответ: 49

б) В выражении $11^{-4} : 11^{13} : 11^{17}$ операции деления выполняются последовательно слева направо, используя правило $a^m : a^n = a^{m-n}$.

1. Выполняем первое деление:

$11^{-4} : 11^{13} = 11^{-4 - 13} = 11^{-17}$.

2. Выполняем второе деление:

$11^{-17} : 11^{17} = 11^{-17 - 17} = 11^{-34}$.

Ответ: $11^{-34}$

в) В выражении $5^9 : 5^{-12} : 5^{20}$ операции деления также выполняются последовательно слева направо.

1. Первое деление. При вычитании отрицательного числа знак меняется на противоположный:

$5^9 : 5^{-12} = 5^{9 - (-12)} = 5^{9+12} = 5^{21}$.

2. Второе деление:

$5^{21} : 5^{20} = 5^{21-20} = 5^1 = 5$.

Ответ: 5

г) Для решения выражения $10 : (5^{-2})^{13} : 25^{14}$ сначала упростим его компоненты.

1. Упростим степени:

$(5^{-2})^{13} = 5^{-2 \cdot 13} = 5^{-26}$.

$25^{14} = (5^2)^{14} = 5^{2 \cdot 14} = 5^{28}$.

2. Представим число $10$ как произведение $2 \cdot 5$.

3. Выражение принимает вид: $(2 \cdot 5) : 5^{-26} : 5^{28}$.

4. Выполняем операции слева направо:

$(2 \cdot 5^1) : 5^{-26} = 2 \cdot (5^1 : 5^{-26}) = 2 \cdot 5^{1 - (-26)} = 2 \cdot 5^{27}$.

$(2 \cdot 5^{27}) : 5^{28} = 2 \cdot (5^{27} : 5^{28}) = 2 \cdot 5^{27-28} = 2 \cdot 5^{-1}$.

5. Вычисляем итоговое значение, используя свойство $a^{-n} = 1/a^n$:

$2 \cdot 5^{-1} = 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5} = 0.4$.

Ответ: 0.4

д) Рассмотрим выражение с дробями $\frac{15^5}{3^3 \cdot 5^4} : \frac{12^5}{3^6 \cdot 4^6}$.

1. Деление дробей заменяется на умножение на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{15^5}{3^3 \cdot 5^4} \cdot \frac{3^6 \cdot 4^6}{12^5}$.

2. Разложим основания степеней $15$ и $12$ на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$, $12 = 3 \cdot 4$.

3. Подставим разложения в выражение:

$\frac{(3 \cdot 5)^5}{3^3 \cdot 5^4} \cdot \frac{3^6 \cdot 4^6}{(3 \cdot 4)^5} = \frac{3^5 \cdot 5^5}{3^3 \cdot 5^4} \cdot \frac{3^6 \cdot 4^6}{3^5 \cdot 4^5}$.

4. Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями и применим правила умножения и деления степеней:

$\frac{3^5 \cdot 3^6}{3^3 \cdot 3^5} \cdot \frac{5^5}{5^4} \cdot \frac{4^6}{4^5} = 3^{(5+6)-(3+5)} \cdot 5^{5-4} \cdot 4^{6-5} = 3^{11-8} \cdot 5^1 \cdot 4^1 = 3^3 \cdot 5 \cdot 4$.

5. Вычислим результат:

$27 \cdot 5 \cdot 4 = 27 \cdot 20 = 540$.

Ответ: 540

е) Рассмотрим выражение $\frac{10^{10}}{2^8 \cdot 5^9} : \frac{17^6 \cdot 8^3}{34^7}$.

1. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{10^{10}}{2^8 \cdot 5^9} \cdot \frac{34^7}{17^6 \cdot 8^3}$.

2. Разложим основания $10$, $34$ и $8$ на простые множители: $10 = 2 \cdot 5$, $34 = 2 \cdot 17$, $8 = 2^3$.

3. Подставим разложения в выражение:

$\frac{(2 \cdot 5)^{10}}{2^8 \cdot 5^9} \cdot \frac{(2 \cdot 17)^7}{17^6 \cdot (2^3)^3} = \frac{2^{10} \cdot 5^{10}}{2^8 \cdot 5^9} \cdot \frac{2^7 \cdot 17^7}{17^6 \cdot 2^9}$.

4. Перегруппируем множители, чтобы объединить степени с одинаковыми основаниями:

$\frac{2^{10} \cdot 2^7 \cdot 5^{10} \cdot 17^7}{2^8 \cdot 2^9 \cdot 5^9 \cdot 17^6} = \frac{2^{10+7} \cdot 5^{10} \cdot 17^7}{2^{8+9} \cdot 5^9 \cdot 17^6} = \frac{2^{17} \cdot 5^{10} \cdot 17^7}{2^{17} \cdot 5^9 \cdot 17^6}$.

5. Сократим дробь, вычитая показатели степеней:

$2^{17-17} \cdot 5^{10-9} \cdot 17^{7-6} = 2^0 \cdot 5^1 \cdot 17^1$.

6. Учитывая, что $2^0=1$, вычисляем конечный результат:

$1 \cdot 5 \cdot 17 = 85$.

Ответ: 85