Номер 28, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Сравнение действительных чисел. Параграф 1. Действительные числа. Глава 1. Числа и вычисления - номер 28, страница 12.

Условие.

28. Сравните числа:

Решение 1.

Решение 8.

а) 0,5(45) и 0,(54)

Чтобы сравнить периодические дроби, запишем их в развернутом виде, выписав несколько знаков после запятой.
Первое число: $0,5(45) = 0,545454...$
Второе число: $0,(54) = 0,545454...$
Как видно, десятичные представления этих чисел полностью совпадают. Следовательно, числа равны.

Можно также преобразовать их в обыкновенные дроби.
Для $x = 0,5(45)$:
$10x = 5,(45)$
$1000x = 545,(45)$
$1000x - 10x = 545,(45) - 5,(45) \Rightarrow 990x = 540 \Rightarrow x = \frac{540}{990} = \frac{54}{99} = \frac{6}{11}$.
Для $y = 0,(54)$:
$100y = 54,(54)$
$100y - y = 54,(54) - 0,(54) \Rightarrow 99y = 54 \Rightarrow y = \frac{54}{99} = \frac{6}{11}$.
Так как обе дроби равны $\frac{6}{11}$, то $0,5(45) = 0,(54)$.
Ответ: $0,5(45) = 0,(54)$.

б) 0,54(5) и 0,545

Запишем числа в развернутом виде для поразрядного сравнения.
Первое число: $0,54(5) = 0,54555...$
Второе число (конечная десятичная дробь): $0,545 = 0,54500...$
Сравниваем цифры в разрядах, двигаясь слева направо:
Целая часть: $0 = 0$.
Разряд десятых: $5 = 5$.
Разряд сотых: $4 = 4$.
Разряд тысячных: $5 = 5$.
Разряд десятитысячных: $5 > 0$.
Поскольку в разряде десятитысячных цифра первого числа больше, то и само первое число больше второго.
Ответ: $0,54(5) > 0,545$.

в) 0,(27) и 0,2(72)

Запишем дроби в развернутом виде.
Первое число: $0,(27) = 0,272727...$
Второе число: $0,2(72) = 0,272727...$
Десятичные представления чисел полностью совпадают, значит, числа равны.

Проверим, преобразовав в обыкновенные дроби.
Для $x = 0,(27)$:
$100x = 27,(27) \Rightarrow 99x = 27 \Rightarrow x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$.
Для $y = 0,2(72)$:
$10y = 2,(72) \Rightarrow 1000y = 272,(72) \Rightarrow 990y = 270 \Rightarrow y = \frac{270}{990} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$.
Числа равны.
Ответ: $0,(27) = 0,2(72)$.

г) -7,(3) и -7,123

Для сравнения отрицательных чисел нужно сравнить их модули (абсолютные величины). Большим будет то отрицательное число, модуль которого меньше.
Сравним модули: $|-7,(3)|$ и $|-7,123|$.
$|-7,(3)| = 7,(3) = 7,333...$
$|-7,123| = 7,123 = 7,12300...$
Сравниваем $7,333...$ и $7,123...$ поразрядно.
Целые части равны: $7=7$.
В разряде десятых: $3 > 1$.
Следовательно, $7,(3) > 7,123$.
Так как модуль первого числа больше модуля второго, то первое отрицательное число меньше второго (на числовой оси оно находится левее).
Ответ: $-7,(3) < -7,123$.

д) 6,(347) и 6,1(743)

Запишем числа в развернутом виде для поразрядного сравнения.
Первое число: $6,(347) = 6,347347...$
Второе число: $6,1(743) = 6,1743743...$
Сравниваем цифры в разрядах, двигаясь слева направо:
Целая часть: $6 = 6$.
Разряд десятых: $3 > 1$.
Поскольку в разряде десятых цифра первого числа больше, то и само первое число больше второго.
Ответ: $6,(347) > 6,1(743)$.

е) 0,1(0) и 0,0(9)

Рассмотрим оба числа.
Первое число: $0,1(0) = 0,100... = 0,1$. Это конечная десятичная дробь.
Второе число: $0,0(9) = 0,0999...$. Это периодическая дробь с периодом 9.
Существует правило, что бесконечная десятичная дробь с периодом 9 равна конечной десятичной дроби, у которой последняя цифра перед периодом увеличена на единицу.
Таким образом, $0,0(9) = 0,1$.

Проверим это, преобразовав $0,0(9)$ в обыкновенную дробь.
Пусть $z = 0,0(9)$.
$10z = 0,(9)$
$100z = 9,(9)$
$100z - 10z = 9,(9) - 0,(9) \Rightarrow 90z = 9 \Rightarrow z = \frac{9}{90} = \frac{1}{10} = 0,1$.
Поскольку оба числа равны $0,1$, они равны между собой.
Ответ: $0,1(0) = 0,0(9)$.