Номер 30, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Сравнение действительных чисел. Параграф 1. Действительные числа. Глава 1. Числа и вычисления - номер 30, страница 13.

Условие.

30. Найдите два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число: 3; 5; 8; 10; 20; 50; 75.

Решение 1.

Решение 8.

Для того чтобы найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено иррациональное число вида $ \sqrt{x} $, необходимо найти такое натуральное число $ n $, для которого выполняется двойное неравенство $ n < \sqrt{x} < n+1 $. Это неравенство равносильно неравенству $ n^2 < x < (n+1)^2 $. Таким образом, задача сводится к нахождению двух последовательных полных квадратов, между которыми находится подкоренное выражение $ x $.

$ \sqrt{3} $:

Ищем два последовательных натуральных числа $ n $ и $ n+1 $, такие что $ n^2 < 3 < (n+1)^2 $.

Рассмотрим квадраты натуральных чисел: $ 1^2 = 1 $, $ 2^2 = 4 $.

Мы видим, что $ 1 < 3 < 4 $. Следовательно, $ \sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4} $, что означает $ 1 < \sqrt{3} < 2 $.

Искомые числа – 1 и 2.

Ответ: 1 и 2.

$ \sqrt{5} $:

Ищем два последовательных натуральных числа $ n $ и $ n+1 $, такие что $ n^2 < 5 < (n+1)^2 $.

Рассмотрим квадраты натуральных чисел: $ 2^2 = 4 $, $ 3^2 = 9 $.

Мы видим, что $ 4 < 5 < 9 $. Следовательно, $ \sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9} $, что означает $ 2 < \sqrt{5} < 3 $.

Искомые числа – 2 и 3.

Ответ: 2 и 3.

$ \sqrt{8} $:

Ищем два последовательных натуральных числа $ n $ и $ n+1 $, такие что $ n^2 < 8 < (n+1)^2 $.

Рассмотрим квадраты натуральных чисел: $ 2^2 = 4 $, $ 3^2 = 9 $.

Мы видим, что $ 4 < 8 < 9 $. Следовательно, $ \sqrt{4} < \sqrt{8} < \sqrt{9} $, что означает $ 2 < \sqrt{8} < 3 $.

Искомые числа – 2 и 3.

Ответ: 2 и 3.

$ \sqrt{10} $:

Ищем два последовательных натуральных числа $ n $ и $ n+1 $, такие что $ n^2 < 10 < (n+1)^2 $.

Рассмотрим квадраты натуральных чисел: $ 3^2 = 9 $, $ 4^2 = 16 $.

Мы видим, что $ 9 < 10 < 16 $. Следовательно, $ \sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16} $, что означает $ 3 < \sqrt{10} < 4 $.

Искомые числа – 3 и 4.

Ответ: 3 и 4.

$ \sqrt{20} $:

Ищем два последовательных натуральных числа $ n $ и $ n+1 $, такие что $ n^2 < 20 < (n+1)^2 $.

Рассмотрим квадраты натуральных чисел: $ 4^2 = 16 $, $ 5^2 = 25 $.

Мы видим, что $ 16 < 20 < 25 $. Следовательно, $ \sqrt{16} < \sqrt{20} < \sqrt{25} $, что означает $ 4 < \sqrt{20} < 5 $.

Искомые числа – 4 и 5.

Ответ: 4 и 5.

$ \sqrt{50} $:

Ищем два последовательных натуральных числа $ n $ и $ n+1 $, такие что $ n^2 < 50 < (n+1)^2 $.

Рассмотрим квадраты натуральных чисел: $ 7^2 = 49 $, $ 8^2 = 64 $.

Мы видим, что $ 49 < 50 < 64 $. Следовательно, $ \sqrt{49} < \sqrt{50} < \sqrt{64} $, что означает $ 7 < \sqrt{50} < 8 $.

Искомые числа – 7 и 8.

Ответ: 7 и 8.

$ \sqrt{75} $:

Ищем два последовательных натуральных числа $ n $ и $ n+1 $, такие что $ n^2 < 75 < (n+1)^2 $.

Рассмотрим квадраты натуральных чисел: $ 8^2 = 64 $, $ 9^2 = 81 $.

Мы видим, что $ 64 < 75 < 81 $. Следовательно, $ \sqrt{64} < \sqrt{75} < \sqrt{81} $, что означает $ 8 < \sqrt{75} < 9 $.

Искомые числа – 8 и 9.

Ответ: 8 и 9.