Номер 32, страница 13 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Сравнение действительных чисел. Параграф 1. Действительные числа. Глава 1. Числа и вычисления - номер 32, страница 13.

Условие.

32. Сравните числа:

Решение 1.

Решение 8.

а) Чтобы сравнить числа $5\sqrt{3}$ и $3\sqrt{5}$, представим их в виде квадратных корней. Для этого внесем множитель, стоящий перед корнем, под знак корня, предварительно возведя его в квадрат.

Для первого числа: $5\sqrt{3} = \sqrt{5^2 \cdot 3} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{75}$.

Для второго числа: $3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$.

Теперь сравним полученные значения: $\sqrt{75}$ и $\sqrt{45}$. Поскольку функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей, большему подкоренному выражению соответствует большее значение корня. Так как $75 > 45$, то $\sqrt{75} > \sqrt{45}$.

Следовательно, $5\sqrt{3} > 3\sqrt{5}$.

Ответ: $5\sqrt{3} > 3\sqrt{5}$.

б) Сравним числа $0,1\sqrt{4500}$ и $\sqrt{45}$. Внесем множитель $0,1$ под знак корня в первом выражении.

$0,1\sqrt{4500} = \sqrt{0,1^2 \cdot 4500} = \sqrt{0,01 \cdot 4500} = \sqrt{45}$.

Другой способ — это упростить корень: $0,1\sqrt{4500} = 0,1\sqrt{100 \cdot 45} = 0,1 \cdot \sqrt{100} \cdot \sqrt{45} = 0,1 \cdot 10 \cdot \sqrt{45} = \sqrt{45}$.

В результате мы сравниваем $\sqrt{45}$ и $\sqrt{45}$, которые, очевидно, равны.

Ответ: $0,1\sqrt{4500} = \sqrt{45}$.

в) Сравним числа $0,3\sqrt{10}$ и $0,1\sqrt{80}$. Внесем множители под знак корня.

Для первого числа: $0,3\sqrt{10} = \sqrt{0,3^2 \cdot 10} = \sqrt{0,09 \cdot 10} = \sqrt{0,9}$.

Для второго числа: $0,1\sqrt{80} = \sqrt{0,1^2 \cdot 80} = \sqrt{0,01 \cdot 80} = \sqrt{0,8}$.

Теперь сравним подкоренные выражения: $0,9$ и $0,8$. Поскольку $0,9 > 0,8$, то и $\sqrt{0,9} > \sqrt{0,8}$.

Следовательно, $0,3\sqrt{10} > 0,1\sqrt{80}$.

Ответ: $0,3\sqrt{10} > 0,1\sqrt{80}$.

г) Сравним отрицательные числа $-4\sqrt{0,2}$ и $-\sqrt{0,7}$. Для этого сначала сравним их модули (положительные значения): $4\sqrt{0,2}$ и $\sqrt{0,7}$.

Внесем множитель $4$ под знак корня: $4\sqrt{0,2} = \sqrt{4^2 \cdot 0,2} = \sqrt{16 \cdot 0,2} = \sqrt{3,2}$.

Теперь сравним $\sqrt{3,2}$ и $\sqrt{0,7}$. Так как подкоренное выражение $3,2$ больше, чем $0,7$, то $\sqrt{3,2} > \sqrt{0,7}$, а значит $4\sqrt{0,2} > \sqrt{0,7}$.

При сравнении отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Так как $|-4\sqrt{0,2}| > |-\sqrt{0,7}|$, то, умножая неравенство $4\sqrt{0,2} > \sqrt{0,7}$ на $-1$, мы меняем знак неравенства на противоположный.

Получаем: $-4\sqrt{0,2} < -\sqrt{0,7}$.

Ответ: $-4\sqrt{0,2} < -\sqrt{0,7}$.