Номер 25, страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

2. Сравнение действительных чисел. Параграф 1. Действительные числа. Глава 1. Числа и вычисления - номер 25, страница 12.

Условие.

25. Сравните числа:

Решение 1.

Решение 8.

а)

Сравниваем два положительных десятичных числа: $0,017$ и $0,099$. Начинаем сравнение поразрядно слева направо. Целые части обоих чисел равны 0. Десятые доли также равны 0. В разряде сотых у числа $0,017$ стоит цифра 1, а у числа $0,099$ — цифра 9. Так как $1 < 9$, то и все число $0,017$ меньше, чем $0,099$.
Ответ: $0,017 < 0,099$.

б)

Сравниваем два отрицательных числа: $-4,9$ и $-4,25$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Найдем модули чисел: $|-4,9| = 4,9$ и $|-4,25| = 4,25$. Сравним модули: $4,9$ и $4,25$. Для удобства запишем $4,9$ как $4,90$. Сравнивая $4,90$ и $4,25$, видим, что в разряде десятых $9 > 2$, следовательно $4,90 > 4,25$. Поскольку модуль первого числа больше модуля второго, само первое число меньше второго.
Ответ: $-4,9 < -4,25$.

в)

Сравниваем два отрицательных числа: $-8,48$ и $-8,84$. Большим является то число, модуль которого меньше. Найдем модули: $|-8,48| = 8,48$ и $|-8,84| = 8,84$. Сравним модули. Целые части равны 8. В разряде десятых у первого числа стоит 4, а у второго 8. Так как $4 < 8$, то $8,48 < 8,84$. Это означает, что $|-8,48| < |-8,84|$, поэтому исходное число $-8,48$ больше, чем $-8,84$.
Ответ: $-8,48 > -8,84$.

г)

Чтобы сравнить обыкновенную дробь $\frac{11}{16}$ и десятичную $0,6875$, приведем их к одному виду. Переведем обыкновенную дробь в десятичную, разделив числитель на знаменатель: $11 \div 16 = 0,6875$. Теперь мы сравниваем $0,6875$ и $0,6875$. Эти числа равны.
Ответ: $\frac{11}{16} = 0,6875$.

д)

Приведем числа $-2,882$ и $-2\frac{13}{20}$ к одному виду — к десятичным дробям. Для этого переведем дробную часть смешанного числа. $\frac{13}{20} = \frac{13 \times 5}{20 \times 5} = \frac{65}{100} = 0,65$. Значит, $-2\frac{13}{20} = -2,65$. Теперь сравним отрицательные числа $-2,882$ и $-2,65$. Сравним их модули: $2,882$ и $2,65$. В разряде десятых $8 > 6$, значит $2,882 > 2,65$. Так как числа отрицательные, то чем больше модуль, тем меньше само число. Следовательно, $-2,882 < -2,65$.
Ответ: $-2,882 < -2\frac{13}{20}$.

е)

Для сравнения двух обыкновенных дробей $\frac{12}{13}$ и $\frac{13}{14}$ приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $13 \times 14 = 182$.
Приведем дроби: $\frac{12}{13} = \frac{12 \times 14}{13 \times 14} = \frac{168}{182}$
$\frac{13}{14} = \frac{13 \times 13}{14 \times 13} = \frac{169}{182}$
Сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями по их числителям. Так как $168 < 169$, то $\frac{168}{182} < \frac{169}{182}$.
Ответ: $\frac{12}{13} < \frac{13}{14}$.

ж)

Сравниваются отрицательное число $-6,006$ и положительное число $6,066$. Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа.
Ответ: $-6,006 < 6,066$.

з)

Приведем смешанное число $-34\frac{3}{4}$ к виду десятичной дроби. Дробная часть $\frac{3}{4}$ равна $3 \div 4 = 0,75$. Таким образом, смешанное число $-34\frac{3}{4}$ равно $-34,75$. Сравниваемые числа равны.
Ответ: $-34\frac{3}{4} = -34,75$.

и)

Приведем числа $0,653$ и $\frac{13}{20}$ к одному виду. Переведем обыкновенную дробь в десятичную. $\frac{13}{20} = \frac{13 \times 5}{20 \times 5} = \frac{65}{100} = 0,65$. Теперь сравним $0,653$ и $0,65$. Для удобства запишем второе число как $0,650$. Поразрядное сравнение показывает, что в разряде тысячных $3 > 0$, следовательно, $0,653 > 0,650$.
Ответ: $0,653 > \frac{13}{20}$.

к)

Чтобы сравнить дробь $\frac{3}{7}$ и десятичную дробь $0,43$, приведем их к одному виду. Переведем десятичную дробь $0,43$ в обыкновенную: $0,43 = \frac{43}{100}$. Теперь сравним две обыкновенные дроби: $\frac{3}{7}$ и $\frac{43}{100}$. Приведем их к общему знаменателю $7 \times 100 = 700$.
$\frac{3}{7} = \frac{3 \times 100}{7 \times 100} = \frac{300}{700}$
$\frac{43}{100} = \frac{43 \times 7}{100 \times 7} = \frac{301}{700}$
Сравнивая числители, получаем $300 < 301$. Следовательно, $\frac{300}{700} < \frac{301}{700}$.
Ответ: $\frac{3}{7} < 0,43$.