Номер 18, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Действия над действительными числами. Параграф 1. Действительные числа. Глава 1. Числа и вычисления - номер 18, страница 10.

Условие.

18. Запишите с помощью знака ⊂ соотношения между множествами:

а) Q и N ;

б) Q и Z ;

в) R и N ;

г) R и Z.

Решение 1.

Решение 8.

Для того чтобы записать соотношения между множествами с помощью знака $\subset$ (является подмножеством), необходимо определить, все ли элементы одного множества содержатся в другом.

Вспомним определения числовых множеств:

• $N$ – множество натуральных чисел: $\{1, 2, 3, ...\}$.
• $Z$ – множество целых чисел: $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.
• $Q$ – множество рациональных чисел, то есть чисел, представимых в виде дроби $m/n$, где $m \in Z$, $n \in N$.
• $R$ – множество действительных чисел, которое включает в себя все рациональные и иррациональные числа.

Между этими множествами существует следующая иерархия вложений: любое натуральное число является целым, любое целое – рациональным, а любое рациональное – действительным. Это можно записать в виде цепочки: $N \subset Z \subset Q \subset R$.

Используя эту информацию, решим каждый подпункт.

а) Q и N

Рассмотрим множества рациональных чисел $Q$ и натуральных чисел $N$. Любое натуральное число $n$ можно представить в виде дроби со знаменателем 1, то есть $n = n/1$. Так как $n$ является целым числом ($n \in Z$) и $1$ является натуральным числом ($1 \in N$), то по определению любое натуральное число является рациональным. Таким образом, все элементы множества $N$ содержатся в множестве $Q$. Следовательно, $N$ является подмножеством $Q$.

Ответ: $N \subset Q$.

б) Q и Z

Рассмотрим множества рациональных чисел $Q$ и целых чисел $Z$. Любое целое число $z$ можно представить в виде дроби $z/1$. Так как $z \in Z$ и $1 \in N$, то по определению любое целое число является рациональным. Это означает, что все элементы множества $Z$ содержатся в множестве $Q$. Следовательно, $Z$ является подмножеством $Q$.

Ответ: $Z \subset Q$.

в) R и N

Рассмотрим множества действительных чисел $R$ и натуральных чисел $N$. Как было показано в пункте а), любое натуральное число является рациональным ($N \subset Q$). В свою очередь, множество рациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел ($Q \subset R$). Из этого следует, что любое натуральное число является действительным. Таким образом, $N$ является подмножеством $R$.

Ответ: $N \subset R$.

г) R и Z

Рассмотрим множества действительных чисел $R$ и целых чисел $Z$. Как было показано в пункте б), любое целое число является рациональным ($Z \subset Q$). Так как все рациональные числа являются действительными ($Q \subset R$), то и все целые числа являются действительными. Следовательно, $Z$ является подмножеством $R$.

Ответ: $Z \subset R$.