Номер 15, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Действия над действительными числами. Параграф 1. Действительные числа. Глава 1. Числа и вычисления - номер 15, страница 10.

Условие.

15. Укажите пять значений переменной a, при которых число $\sqrt{а}$ является рациональным и пять значений, при которых это число является иррациональным.

Решение 1.

Решение 8.

Пять значений переменной a, при которых число $\sqrt{a}$ является рациональным
Число $\sqrt{a}$ является рациональным тогда и только тогда, когда подкоренное выражение a является полным квадратом некоторого рационального числа. Это означает, что должно выполняться равенство $a = r^2$, где r — рациональное число. Чтобы найти пять таких значений a, достаточно выбрать пять любых рациональных чисел для r и возвести их в квадрат.
Приведем пять примеров:
1. Пусть $r=0$. Тогда $a = 0^2 = 0$. В этом случае $\sqrt{a} = \sqrt{0} = 0$, что является рациональным числом.
2. Пусть $r=1$. Тогда $a = 1^2 = 1$. В этом случае $\sqrt{a} = \sqrt{1} = 1$, что является рациональным числом.
3. Пусть $r=4$. Тогда $a = 4^2 = 16$. В этом случае $\sqrt{a} = \sqrt{16} = 4$, что является рациональным числом.
4. Пусть $r=0.5$. Тогда $a = (0.5)^2 = 0.25$. В этом случае $\sqrt{a} = \sqrt{0.25} = 0.5$, что является рациональным числом.
5. Пусть $r=\frac{2}{3}$. Тогда $a = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$. В этом случае $\sqrt{a} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$, что является рациональным числом.
Ответ: $a = 0; 1; 16; 0.25; \frac{4}{9}$.

Пять значений, при которых это число является иррациональным
Число $\sqrt{a}$ является иррациональным тогда и только тогда, когда неотрицательное число a не является полным квадратом рационального числа. Чтобы найти такие значения a, достаточно выбрать любое положительное число, которое не является точным квадратом. Проще всего выбрать целые числа, не являющиеся квадратами других целых чисел.
Приведем пять примеров:
1. Пусть $a=2$. Число 2 не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{2}$ — иррациональное число.
2. Пусть $a=3$. Число 3 не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{3}$ — иррациональное число.
3. Пусть $a=5$. Число 5 не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{5}$ — иррациональное число.
4. Пусть $a=8$. Число 8 не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ — иррациональное число.
5. Пусть $a=10$. Число 10 не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{10}$ — иррациональное число.
Ответ: $a = 2; 3; 5; 8; 10$.