Номер 17, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Действия над действительными числами. Параграф 1. Действительные числа. Глава 1. Числа и вычисления - номер 17, страница 10.

Условие.

17. Прочитайте утверждения и выберите верные:

Решение 1.

Решение 8.

Для решения данной задачи необходимо проанализировать каждое утверждение, определив его истинность или ложность. Вспомним определения числовых множеств:

• $N$ — множество натуральных чисел: $\{1, 2, 3, ...\}$.
• $Z$ — множество целых чисел: $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$.
• $Q$ — множество рациональных чисел, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in Z$, $q \in N$. К ним относятся целые числа, конечные и периодические десятичные дроби.
• $R$ — множество действительных (вещественных) чисел, которое включает в себя рациональные и иррациональные числа.

$-18 \in Z$

Множество целых чисел $Z$ включает в себя натуральные числа, им противоположные и ноль. Число -18 является целым отрицательным числом, поэтому оно принадлежит множеству $Z$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

$\frac{12}{15} \in N$

Множество натуральных чисел $N$ состоит из целых положительных чисел, используемых при счете. Вычислим значение дроби: $\frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0,8$. Число 0,8 не является натуральным числом. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

$3,38 \notin Q$

Множество рациональных чисел $Q$ включает все числа, которые можно представить в виде дроби. Конечная десятичная дробь 3,38 может быть представлена как $\frac{338}{100}$, следовательно, $3,38$ является рациональным числом ($3,38 \in Q$). Утверждение, что оно не принадлежит $Q$, неверно.

Ответ: неверно.

$205 \in Q$

Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1. $205 = \frac{205}{1}$. Таким образом, 205 принадлежит множеству рациональных чисел $Q$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

$2,5 \notin R$

Множество действительных чисел $R$ включает в себя все рациональные и иррациональные числа. Число 2,5 является рациональным ($2,5 = \frac{5}{2}$), а значит, и действительным числом. Утверждение, что $2,5$ не является действительным числом, неверно.

Ответ: неверно.

$2 + \sqrt{2} \in R$

Число 2 является действительным числом, и число $\sqrt{2}$ является действительным (иррациональным) числом. Сумма двух действительных чисел всегда является действительным числом. Следовательно, выражение $2 + \sqrt{2}$ принадлежит множеству действительных чисел $R$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

$\sqrt{3} \notin N$

Множество натуральных чисел $N$ состоит из целых положительных чисел $\{1, 2, 3, ...\}$. Корень из трех $\sqrt{3} \approx 1,732...$ не является целым числом. Следовательно, $\sqrt{3}$ не принадлежит множеству натуральных чисел. Утверждение верно.

Ответ: верно.

$\sqrt{2} \in Q$

Число $\sqrt{2}$ является классическим примером иррационального числа. Это означает, что его невозможно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа. Следовательно, $\sqrt{2}$ не принадлежит множеству рациональных чисел $Q$. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

$3\frac{1}{4} + 0,25 \in R$

Вычислим значение выражения. Смешанную дробь $3\frac{1}{4}$ можно записать как десятичную $3,25$. Тогда $3,25 + 0,25 = 3,5$. Число 3,5 является рациональным ($3,5 = \frac{7}{2}$), а все рациональные числа являются действительными. Следовательно, выражение принадлежит множеству $R$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

$0,15 \in Z$

Множество целых чисел $Z$ не включает дробные числа. 0,15 — это десятичная дробь, а не целое число. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

$0,(8) \in R$

Выражение $0,(8)$ обозначает бесконечную периодическую дробь $0,888...$. Любая периодическая дробь является рациональным числом ($0,(8) = \frac{8}{9}$). Все рациональные числа входят в множество действительных чисел $R$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

$4 + \sqrt{4} \in Z$

Вычислим значение выражения: $\sqrt{4} = 2$. Тогда $4 + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6$. Число 6 является целым числом и, следовательно, принадлежит множеству $Z$. Утверждение верно.

Ответ: верно.