Номер 13, страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Действия над действительными числами. Параграф 1. Действительные числа. Глава 1. Числа и вычисления - номер 13, страница 10.

Условие.

13. Какое множество является:

а) объединением множеств N и Z, их пересечением;

б) объединением множеств Q и R, их пересечением;

в) объединением множеств N и Q, их пересечением;

г) объединением множеств Z и R, их пересечением?

Решение 1.

Решение 8.

Для решения этой задачи необходимо вспомнить определения и соотношения основных числовых множеств.
$N$ – множество натуральных чисел $\{1, 2, 3, ...\}$.
$Z$ – множество целых чисел $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$.
$Q$ – множество рациональных чисел (числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m \in Z$, а $n \in N$).
$R$ – множество действительных чисел (включает все рациональные и иррациональные числа).

Ключевым моментом является то, что эти множества образуют цепочку вложений (каждое предыдущее множество является подмножеством следующего): $N \subset Z \subset Q \subset R$.
Для любых двух множеств $A$ и $B$, где $A$ является подмножеством $B$ ($A \subset B$), справедливы следующие правила:
1. Их объединение равно большему множеству: $A \cup B = B$.
2. Их пересечение равно меньшему множеству: $A \cap B = A$.
Применим эти правила к каждому пункту.

а) объединением множеств N и Z, их пересечением;
Так как множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел ($N \subset Z$), то их объединение равно большему множеству $Z$, а их пересечение равно меньшему множеству $N$.
$N \cup Z = Z$
$N \cap Z = N$
Ответ: объединение — множество целых чисел $Z$, пересечение — множество натуральных чисел $N$.

б) объединением множеств Q и R, их пересечением;
Множество рациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел ($Q \subset R$). Следовательно, их объединение равно $R$, а пересечение равно $Q$.
$Q \cup R = R$
$Q \cap R = Q$
Ответ: объединение — множество действительных чисел $R$, пересечение — множество рациональных чисел $Q$.

в) объединением множеств N и Q, их пересечением;
Множество натуральных чисел является подмножеством множества рациональных чисел ($N \subset Q$). Поэтому их объединение равно $Q$, а пересечение равно $N$.
$N \cup Q = Q$
$N \cap Q = N$
Ответ: объединение — множество рациональных чисел $Q$, пересечение — множество натуральных чисел $N$.

г) объединением множеств Z и R, их пересечением?
Множество целых чисел является подмножеством множества действительных чисел ($Z \subset R$). Таким образом, их объединение равно $R$, а пересечение равно $Z$.
$Z \cup R = R$
$Z \cap R = Z$
Ответ: объединение — множество действительных чисел $R$, пересечение — множество целых чисел $Z$.