Номер 10, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Действия над действительными числами. Параграф 1. Действительные числа. Глава 1. Числа и вычисления - номер 10, страница 9.

Условие.

10. Докажите, что разность, произведение и частное двух рациональных чисел (делитель отличен от нуля) — числа рациональные.

Решение 1.

Решение 8.

Для доказательства воспользуемся определением рационального числа. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а знаменатель $n$ — целое ненулевое число ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$).

Пусть нам даны два произвольных рациональных числа $r_1$ и $r_2$. Представим их в виде дробей:

$r_1 = \frac{a}{b}$, где $a, b \in \mathbb{Z}$ и $b \neq 0$.

$r_2 = \frac{c}{d}$, где $c, d \in \mathbb{Z}$ и $d \neq 0$.

Разность

Найдем разность чисел $r_1$ и $r_2$:

$r_1 - r_2 = \frac{a}{b} - \frac{c}{d}$

Приведем дроби к общему знаменателю $bd$:

$r_1 - r_2 = \frac{ad}{bd} - \frac{bc}{bd} = \frac{ad - bc}{bd}$

Проанализируем результат. Числитель дроби — это $ad - bc$. Так как $a, b, c, d$ — целые числа, то их произведения $ad$ и $bc$ также являются целыми числами. Разность двух целых чисел ($ad - bc$) — это целое число.

Знаменатель дроби — это $bd$. Так как $b \neq 0$ и $d \neq 0$, то их произведение $bd$ также является целым числом, не равным нулю.

Таким образом, разность $r_1 - r_2$ представлена в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа, а знаменатель не равен нулю. Следовательно, разность двух рациональных чисел является рациональным числом.

Ответ: разность двух рациональных чисел является рациональным числом.

Произведение

Найдем произведение чисел $r_1$ и $r_2$:

$r_1 \cdot r_2 = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$

Проанализируем результат. Числитель дроби $ac$ — это произведение двух целых чисел $a$ и $c$, которое также является целым числом.

Знаменатель дроби $bd$ — это произведение двух ненулевых целых чисел $b$ и $d$, которое является целым и не равным нулю числом.

Таким образом, произведение $r_1 \cdot r_2$ представлено в виде дроби, удовлетворяющей определению рационального числа.

Ответ: произведение двух рациональных чисел является рациональным числом.

Частное

Найдем частное чисел $r_1$ и $r_2$. По условию, делитель $r_2$ отличен от нуля. Если $r_2 = \frac{c}{d} \neq 0$, то это означает, что его числитель $c \neq 0$ (так как знаменатель $d$ уже по определению не равен нулю).

$r_1 : r_2 = \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$

Проанализируем результат. Числитель дроби $ad$ — это произведение двух целых чисел, которое является целым числом.

Знаменатель дроби $bc$ — это произведение двух целых чисел $b$ и $c$. Мы знаем, что $b \neq 0$ (из определения $r_1$) и $c \neq 0$ (так как $r_2 \neq 0$). Следовательно, их произведение $bc$ также является целым числом, не равным нулю.

Таким образом, частное $r_1 : r_2$ представлено в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа, а знаменатель не равен нулю. Это означает, что частное двух рациональных чисел является рациональным числом.

Ответ: частное двух рациональных чисел (при условии, что делитель не равен нулю) является рациональным числом.