Номер 6, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Действия над действительными числами. Параграф 1. Действительные числа. Глава 1. Числа и вычисления - номер 6, страница 9.

Условие.

6. Найдите три числа, которые принадлежат:

а) Z и R ;

б) R и N ;

в) Q и R ;

г) N, Q и R.

Решение 1.

Решение 8.

Для решения этой задачи необходимо вспомнить определения числовых множеств и их соотношения:
$N$ – множество натуральных чисел, то есть чисел, используемых при счете предметов (1, 2, 3, ...).
$Z$ – множество целых чисел, которое включает в себя натуральные числа, им противоположные и ноль (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...).
$Q$ – множество рациональных чисел, то есть чисел, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ – целое число ($m \in Z$), а $n$ – натуральное число ($n \in N$).
$R$ – множество действительных (или вещественных) чисел, которое объединяет рациональные и иррациональные числа.
Эти множества образуют цепочку вложений: $N \subset Z \subset Q \subset R$. Это означает, что любое натуральное число является одновременно и целым, и рациональным, и действительным. Любое целое число является рациональным и действительным, а любое рациональное – действительным.

а) Z и R

Нужно найти три числа, которые одновременно принадлежат множеству целых чисел ($Z$) и множеству действительных чисел ($R$). Поскольку множество целых чисел является подмножеством множества действительных чисел ($Z \subset R$), любое целое число автоматически является и действительным. Таким образом, нам достаточно выбрать любые три целых числа.
Примеры:
1. $-10$: это целое число, следовательно, оно принадлежит $Z$ и $R$.
2. $0$: это целое число, следовательно, оно принадлежит $Z$ и $R$.
3. $125$: это целое число, следовательно, оно принадлежит $Z$ и $R$.
Ответ: -10, 0, 125.

б) R и N

Нужно найти три числа, которые одновременно принадлежат множеству действительных чисел ($R$) и множеству натуральных чисел ($N$). Поскольку множество натуральных чисел является подмножеством множества действительных чисел ($N \subset R$), любое натуральное число является и действительным. Значит, нам нужно выбрать любые три натуральных числа.
Примеры:
1. $1$: это натуральное число, следовательно, оно принадлежит $N$ и $R$.
2. $7$: это натуральное число, следовательно, оно принадлежит $N$ и $R$.
3. $2024$: это натуральное число, следовательно, оно принадлежит $N$ и $R$.
Ответ: 1, 7, 2024.

в) Q и R

Нужно найти три числа, которые одновременно принадлежат множеству рациональных чисел ($Q$) и множеству действительных чисел ($R$). Множество рациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел ($Q \subset R$), поэтому любое рациональное число является и действительным. Выберем три произвольных рациональных числа, включая дробные.
Примеры:
1. $\frac{1}{2}$: это рациональное число (дробь), следовательно, оно принадлежит $Q$ и $R$.
2. $-5$: это целое число, его можно представить как $\frac{-5}{1}$, значит, оно рациональное и принадлежит $Q$ и $R$.
3. $1.75$: эту десятичную дробь можно представить как $\frac{175}{100}$ или $\frac{7}{4}$, значит, это рациональное число, принадлежащее $Q$ и $R$.
Ответ: $\frac{1}{2}$, -5, 1.75.

г) N, Q и R

Нужно найти три числа, которые принадлежат одновременно трем множествам: натуральных ($N$), рациональных ($Q$) и действительных ($R$) чисел. Исходя из вложенности множеств $N \subset Q \subset R$, любое натуральное число ($ \in N$) автоматически является и рациональным ($ \in Q$), и действительным ($ \in R$). Следовательно, задача сводится к выбору трех любых натуральных чисел.
Примеры:
1. $9$: принадлежит $N$, а значит и $Q$, и $R$.
2. $55$: принадлежит $N$, а значит и $Q$, и $R$.
3. $1001$: принадлежит $N$, а значит и $Q$, и $R$.
Ответ: 9, 55, 1001.