Номер 1, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Действия над действительными числами. Параграф 1. Действительные числа. Глава 1. Числа и вычисления - номер 1, страница 9.

Условие.

1. Найдите десять рациональных чисел, которые заключены между числами 0,001 и 0,01. Найдите несколько иррациональных чисел, находящихся в этом промежутке.

Решение 1.

Решение 8.

Найдите десять рациональных чисел, которые заключены между числами 0,001 и 0,01.

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Любая конечная десятичная дробь является рациональным числом.

Нам нужно найти числа $x$, удовлетворяющие неравенству $0,001 < x < 0,01$. Чтобы упростить поиск, представим границы интервала с большим количеством знаков после запятой, что не изменит их значения. Например, $0,001 = 0,0010$ и $0,01 = 0,0100$.

Теперь мы ищем числа в интервале $(0,0010; 0,0100)$. Любое число, которое больше $0,0010$ и меньше $0,0100$, будет решением. Мы можем легко выбрать такие числа, например, добавляя значащие цифры после тысячных долей. Вот десять примеров таких рациональных чисел:

0,0011
0,0015
0,002
0,003
0,004
0,005
0,0067
0,0078
0,008
0,0099

Все перечисленные числа являются конечными десятичными дробями, поэтому они рациональны и лежат в указанном промежутке.

Ответ: 0,0011, 0,0015, 0,002, 0,003, 0,004, 0,005, 0,0067, 0,0078, 0,008, 0,0099.

Найдите несколько иррациональных чисел, находящихся в этом промежутке.

Иррациональное число — это действительное число, которое не является рациональным. Его десятичное представление является бесконечным и непериодическим.

Способ 1: Конструирование числа.
Можно создать число, которое начинается с цифр, обеспечивающих попадание в интервал (например, $0,002...$), и дописать бесконечный непериодический «хвост». Пример такого числа:

$0,002121121112...$

Это число иррационально, так как количество единиц между двойками постоянно увеличивается, что делает последовательность непериодической. Оно находится в заданном интервале, так как $0,001 < 0,002121121112... < 0,01$.

Способ 2: Использование известных иррациональных чисел.
Можно взять известные иррациональные числа (например, $\pi \approx 3,14159...$, $\sqrt{2} \approx 1,41421...$) и поделить их на степень десяти, чтобы результат попал в нужный диапазон. Частное от деления иррационального числа на ненулевое рациональное является иррациональным числом.

Примеры:
- $\frac{\sqrt{2}}{1000} \approx 0,001414...$ Это число больше $0,001$ и меньше $0,01$.
- $\frac{\sqrt{5}}{1000} \approx 0,002236...$ Это число также находится в интервале.
- $\frac{\pi}{1000} \approx 0,003141...$ Это число тоже подходит.

Ответ: Например, $\frac{\sqrt{2}}{1000}$, $\frac{\pi}{1000}$ и $0,002121121112...$.