Номер 2, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Действия над действительными числами. Параграф 1. Действительные числа. Глава 1. Числа и вычисления - номер 2, страница 9.

Условие.

2. Среди чисел 1,38; 2,5; 0; 1,(5); –1,68; 1,68; 2$\frac{3}{4}$; 4,05; 1,4; 1,8; 1,75 найдите такие, которые заключены между иррациональными числами $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$.

Решение 1.

Решение 8.

Для того чтобы найти числа, которые заключены между иррациональными числами $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$, нам необходимо определить, какие из предложенных чисел удовлетворяют неравенству $\sqrt{2} < x < \sqrt{3}$.

Для этого можно использовать два способа: сравнение с приближенными десятичными значениями или сравнение квадратов чисел.

Способ 1: Сравнение с приближенными значениями

Сначала найдем приближенные значения для $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$ с точностью до нескольких знаков после запятой:

$\sqrt{2} \approx 1,4142$

$\sqrt{3} \approx 1,7320$

Теперь нам нужно найти числа $x$ из списка, для которых выполняется условие $1,4142 < x < 1,7320$. Проверим каждое число:

• $1,38$: это число меньше, чем $1,4142$. Не подходит.
• $2,5$: это число больше, чем $1,7320$. Не подходит.
• $0$: это число меньше, чем $1,4142$. Не подходит.
• $1,(5)$: это периодическая дробь $1,5555...$. Условие $1,4142 < 1,5555... < 1,7320$ выполняется. Подходит.
• $-1,68$: это отрицательное число, оно меньше $\sqrt{2}$. Не подходит.
• $1,68$: условие $1,4142 < 1,68 < 1,7320$ выполняется. Подходит.
• $2\frac{3}{4}$: преобразуем в десятичную дробь: $2\frac{3}{4} = 2,75$. Это число больше, чем $1,7320$. Не подходит.
• $4,05$: это число больше, чем $1,7320$. Не подходит.
• $1,4$: это число меньше, чем $1,4142$. Не подходит.
• $1,8$: это число больше, чем $1,7320$. Не подходит.
• $1,75$: это число больше, чем $1,7320$. Не подходит.

Способ 2: Сравнение квадратов чисел

Этот способ более точен. Поскольку все числа в интервале $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ положительны, мы можем возвести в квадрат все части неравенства $\sqrt{2} < x < \sqrt{3}$:

$(\sqrt{2})^2 < x^2 < (\sqrt{3})^2$

$2 < x^2 < 3$

Теперь нужно проверить, для каких положительных чисел $x$ из списка их квадрат $x^2$ лежит в интервале $(2, 3)$.

• $x=1,38$: $x^2 = 1,38^2 = 1,9044$. $1,9044 < 2$. Не подходит.
• $x=2,5$: $x^2 = 2,5^2 = 6,25$. $6,25 > 3$. Не подходит.
• $x=1,(5) = 1\frac{5}{9} = \frac{14}{9}$: $x^2 = (\frac{14}{9})^2 = \frac{196}{81} \approx 2,419...$. Так как $2 < \frac{196}{81} < 3$. Подходит.
• $x=1,68$: $x^2 = 1,68^2 = 2,8224$. Так как $2 < 2,8224 < 3$. Подходит.
• $x=2\frac{3}{4} = 2,75$: $x^2 = 2,75^2 = 7,5625$. $7,5625 > 3$. Не подходит.
• $x=4,05$: $x^2 = 4,05^2 = 16,4025$. $16,4025 > 3$. Не подходит.
• $x=1,4$: $x^2 = 1,4^2 = 1,96$. $1,96 < 2$. Не подходит.
• $x=1,8$: $x^2 = 1,8^2 = 3,24$. $3,24 > 3$. Не подходит.
• $x=1,75 = \frac{7}{4}$: $x^2 = (\frac{7}{4})^2 = \frac{49}{16} = 3,0625$. $3,0625 > 3$. Не подходит.

Оба способа приводят к одному и тому же результату: только числа $1,(5)$ и $1,68$ находятся между $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$.

Ответ: $1,(5)$; $1,68$.