Номер 5, страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Действия над действительными числами. Параграф 1. Действительные числа. Глава 1. Числа и вычисления - номер 5, страница 9.

Условие.

5. Каким из множеств N, Z, Q и R принадлежит:

а) 6;

б) –1,98;

в) 0,5(87);

г) π?

Решение 1.

Решение 8.

Для определения принадлежности чисел к множествам, вспомним их определения:

• $N$ — множество натуральных чисел. Это числа, которые мы используем при счете предметов: $\{1, 2, 3, 4, ...\}$.
• $Z$ — множество целых чисел. Оно включает в себя натуральные числа, числа, им противоположные, и ноль: $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.
• $Q$ — множество рациональных чисел. Это числа, которые можно представить в виде дроби $m/n$, где $m$ — целое число ($m \in Z$), а $n$ — натуральное число ($n \in N$). К ним относятся все целые числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби.
• $R$ — множество действительных чисел. Оно объединяет все рациональные и иррациональные числа. Иррациональные числа — это бесконечные непериодические десятичные дроби (например, $\sqrt{2}$, $\pi$).

Важно помнить о вложенности этих множеств: $N \subset Z \subset Q \subset R$. Это значит, что любое натуральное число является одновременно целым, рациональным и действительным.

а) 6

Число 6 — это натуральное число, так как оно используется для счета. Поскольку множество натуральных чисел является подмножеством всех остальных рассматриваемых множеств, число 6 принадлежит каждому из них. Его можно представить как целое число 6, как рациональное число в виде дроби $6/1$ и как действительное число.
Ответ: $6 \in N$, $6 \in Z$, $6 \in Q$, $6 \in R$.

б) -1,98

Число -1,98 не является натуральным (так как оно отрицательное) и не является целым (так как имеет дробную часть). Это число представляет собой конечную десятичную дробь, которую можно записать в виде обыкновенной дроби: $-1,98 = -198/100 = -99/50$. Так как число представимо в виде дроби двух целых чисел, оно является рациональным. Любое рациональное число также является действительным.
Ответ: $-1,98 \in Q$, $-1,98 \in R$.

в) 0,5(87)

Число 0,5(87) — это бесконечная периодическая десятичная дробь, которая равна $0,5878787...$. Оно не является ни натуральным, ни целым числом. Любую бесконечную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби, следовательно, это число рациональное. Так как все рациональные числа являются действительными, оно принадлежит и множеству $R$.
Ответ: $0,5(87) \in Q$, $0,5(87) \in R$.

г) $\pi$

Число $\pi$ (пи) — это иррациональное число. Его десятичное представление является бесконечным и непериодическим ($\pi \approx 3,14159265...$). Иррациональные числа по определению не могут быть представлены в виде дроби $m/n$, поэтому $\pi$ не принадлежит множествам $N$, $Z$ и $Q$. Множество действительных чисел $R$ состоит из рациональных и иррациональных чисел, поэтому $\pi$ принадлежит множеству $R$.
Ответ: $\pi \in R$.