Страница 9 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

1. Найдите десять рациональных чисел, которые заключены между числами 0,001 и 0,01. Найдите несколько иррациональных чисел, находящихся в этом промежутке.

Найдите десять рациональных чисел, которые заключены между числами 0,001 и 0,01.

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Любая конечная десятичная дробь является рациональным числом.

Нам нужно найти числа $x$, удовлетворяющие неравенству $0,001 < x < 0,01$. Чтобы упростить поиск, представим границы интервала с большим количеством знаков после запятой, что не изменит их значения. Например, $0,001 = 0,0010$ и $0,01 = 0,0100$.

Теперь мы ищем числа в интервале $(0,0010; 0,0100)$. Любое число, которое больше $0,0010$ и меньше $0,0100$, будет решением. Мы можем легко выбрать такие числа, например, добавляя значащие цифры после тысячных долей. Вот десять примеров таких рациональных чисел:

0,0011
0,0015
0,002
0,003
0,004
0,005
0,0067
0,0078
0,008
0,0099

Все перечисленные числа являются конечными десятичными дробями, поэтому они рациональны и лежат в указанном промежутке.

Ответ: 0,0011, 0,0015, 0,002, 0,003, 0,004, 0,005, 0,0067, 0,0078, 0,008, 0,0099.

Найдите несколько иррациональных чисел, находящихся в этом промежутке.

Иррациональное число — это действительное число, которое не является рациональным. Его десятичное представление является бесконечным и непериодическим.

Способ 1: Конструирование числа.
Можно создать число, которое начинается с цифр, обеспечивающих попадание в интервал (например, $0,002...$), и дописать бесконечный непериодический «хвост». Пример такого числа:

$0,002121121112...$

Это число иррационально, так как количество единиц между двойками постоянно увеличивается, что делает последовательность непериодической. Оно находится в заданном интервале, так как $0,001 < 0,002121121112... < 0,01$.

Способ 2: Использование известных иррациональных чисел.
Можно взять известные иррациональные числа (например, $\pi \approx 3,14159...$, $\sqrt{2} \approx 1,41421...$) и поделить их на степень десяти, чтобы результат попал в нужный диапазон. Частное от деления иррационального числа на ненулевое рациональное является иррациональным числом.

Примеры:
- $\frac{\sqrt{2}}{1000} \approx 0,001414...$ Это число больше $0,001$ и меньше $0,01$.
- $\frac{\sqrt{5}}{1000} \approx 0,002236...$ Это число также находится в интервале.
- $\frac{\pi}{1000} \approx 0,003141...$ Это число тоже подходит.

Ответ: Например, $\frac{\sqrt{2}}{1000}$, $\frac{\pi}{1000}$ и $0,002121121112...$.

2. Среди чисел 1,38; 2,5; 0; 1,(5); –1,68; 1,68; 2$\frac{3}{4}$; 4,05; 1,4; 1,8; 1,75 найдите такие, которые заключены между иррациональными числами $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$.

Для того чтобы найти числа, которые заключены между иррациональными числами $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$, нам необходимо определить, какие из предложенных чисел удовлетворяют неравенству $\sqrt{2} < x < \sqrt{3}$.

Для этого можно использовать два способа: сравнение с приближенными десятичными значениями или сравнение квадратов чисел.

Способ 1: Сравнение с приближенными значениями

Сначала найдем приближенные значения для $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$ с точностью до нескольких знаков после запятой:

$\sqrt{2} \approx 1,4142$

$\sqrt{3} \approx 1,7320$

Теперь нам нужно найти числа $x$ из списка, для которых выполняется условие $1,4142 < x < 1,7320$. Проверим каждое число:

• $1,38$: это число меньше, чем $1,4142$. Не подходит.
• $2,5$: это число больше, чем $1,7320$. Не подходит.
• $0$: это число меньше, чем $1,4142$. Не подходит.
• $1,(5)$: это периодическая дробь $1,5555...$. Условие $1,4142 < 1,5555... < 1,7320$ выполняется. Подходит.
• $-1,68$: это отрицательное число, оно меньше $\sqrt{2}$. Не подходит.
• $1,68$: условие $1,4142 < 1,68 < 1,7320$ выполняется. Подходит.
• $2\frac{3}{4}$: преобразуем в десятичную дробь: $2\frac{3}{4} = 2,75$. Это число больше, чем $1,7320$. Не подходит.
• $4,05$: это число больше, чем $1,7320$. Не подходит.
• $1,4$: это число меньше, чем $1,4142$. Не подходит.
• $1,8$: это число больше, чем $1,7320$. Не подходит.
• $1,75$: это число больше, чем $1,7320$. Не подходит.

Способ 2: Сравнение квадратов чисел

Этот способ более точен. Поскольку все числа в интервале $(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ положительны, мы можем возвести в квадрат все части неравенства $\sqrt{2} < x < \sqrt{3}$:

$(\sqrt{2})^2 < x^2 < (\sqrt{3})^2$

$2 < x^2 < 3$

Теперь нужно проверить, для каких положительных чисел $x$ из списка их квадрат $x^2$ лежит в интервале $(2, 3)$.

• $x=1,38$: $x^2 = 1,38^2 = 1,9044$. $1,9044 < 2$. Не подходит.
• $x=2,5$: $x^2 = 2,5^2 = 6,25$. $6,25 > 3$. Не подходит.
• $x=1,(5) = 1\frac{5}{9} = \frac{14}{9}$: $x^2 = (\frac{14}{9})^2 = \frac{196}{81} \approx 2,419...$. Так как $2 < \frac{196}{81} < 3$. Подходит.
• $x=1,68$: $x^2 = 1,68^2 = 2,8224$. Так как $2 < 2,8224 < 3$. Подходит.
• $x=2\frac{3}{4} = 2,75$: $x^2 = 2,75^2 = 7,5625$. $7,5625 > 3$. Не подходит.
• $x=4,05$: $x^2 = 4,05^2 = 16,4025$. $16,4025 > 3$. Не подходит.
• $x=1,4$: $x^2 = 1,4^2 = 1,96$. $1,96 < 2$. Не подходит.
• $x=1,8$: $x^2 = 1,8^2 = 3,24$. $3,24 > 3$. Не подходит.
• $x=1,75 = \frac{7}{4}$: $x^2 = (\frac{7}{4})^2 = \frac{49}{16} = 3,0625$. $3,0625 > 3$. Не подходит.

Оба способа приводят к одному и тому же результату: только числа $1,(5)$ и $1,68$ находятся между $\sqrt{2}$ и $\sqrt{3}$.

Ответ: $1,(5)$; $1,68$.

3. Какое из утверждений верно: «Если a ∈ N, то a ∈ Z» или «Если a ∈ Z, то a ∈ N»?

Для того чтобы определить, какое из утверждений является верным, разберем определения множеств $N$ (натуральные числа) и $Z$ (целые числа) и проанализируем каждое из предложенных высказываний.

• Множество натуральных чисел $N$ — это числа, которые используются при счете предметов. В него входят все целые положительные числа: $N = \{1, 2, 3, 4, ...\}$.
• Множество целых чисел $Z$ включает в себя все натуральные числа, числа, им противоположные (отрицательные), и число ноль: $Z = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.

Теперь рассмотрим каждое утверждение.

«Если $a \in N$, то $a \in Z$»

Это утверждение означает, что любое число, являющееся натуральным, также является и целым. Если мы посмотрим на определения, то увидим, что все элементы множества $N$ (числа $1, 2, 3$ и так далее) также содержатся и во множестве $Z$. Это означает, что множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел, что математически записывается как $N \subset Z$. Следовательно, данное утверждение является истинным.

«Если $a \in Z$, то $a \in N$»

Это утверждение означает, что любое число, являющееся целым, также является и натуральным. Данное утверждение является ложным. Чтобы доказать его ложность, достаточно привести хотя бы один контрпример — то есть, найти целое число, которое не является натуральным. Например, рассмотрим число $a = -3$. Это число является целым ($-3 \in Z$), но оно не является натуральным ($-3 \notin N$), так как натуральные числа по определению положительны. Другой контрпример: число $a = 0$. Оно является целым ($0 \in Z$), но не является натуральным ($0 \notin N$). Поскольку существуют целые числа, которые не являются натуральными, данное утверждение неверно.

Ответ: Верно утверждение «Если $a \in N$, то $a \in Z$».

4. Найдите два значения x, при которых:

а) $x \in Z$ и $x \notin N$

В этом задании необходимо найти два числа, которые являются целыми ($x \in Z$), но при этом не являются натуральными ($x \notin N$).

Множество целых чисел $Z$ включает натуральные числа ($1, 2, 3, ...$), ноль ($0$) и отрицательные целые числа ($-1, -2, -3, ...$).

Множество натуральных чисел $N$ состоит только из положительных целых чисел, используемых для счета: $N = \{1, 2, 3, ...\}$.

Таким образом, числа, удовлетворяющие условию, — это ноль и все отрицательные целые числа. В качестве примера можно взять любые два из них.

Например, $x_1 = -3$ и $x_2 = 0$. Оба числа являются целыми, но не натуральными.

Ответ: -3 и 0.

б) $x \in Q$ и $x \notin Z$

Здесь требуется найти два числа, которые являются рациональными ($x \in Q$), но не являются целыми ($x \notin Z$).

Множество рациональных чисел $Q$ — это числа, представимые в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m \in Z$ и $n \in N$. Целые числа также являются рациональными, так как любое целое $z$ можно записать как $\frac{z}{1}$.

Нам нужно найти рациональные числа, которые не являются целыми. Это любые дробные числа, которые не сокращаются до целого. Они могут быть представлены в виде обыкновенных дробей, смешанных чисел или конечных/периодических десятичных дробей.

Например, $x_1 = \frac{3}{4}$ (или $0.75$) и $x_2 = -2.5$ (или $-\frac{5}{2}$). Оба числа рациональные, но не целые.

Ответ: $\frac{3}{4}$ и -2.5.

в) $x \in Q$ и $x \notin N$

В этом задании необходимо найти два числа, которые являются рациональными ($x \in Q$), но не являются натуральными ($x \notin N$).

Множество рациональных чисел $Q$ включает в себя все целые числа $Z$ и все дробные числа. Множество натуральных чисел $N$ ($N=\{1, 2, 3, ...\}$) является подмножеством целых чисел. Следовательно, мы ищем любое рациональное число, которое не является положительным целым числом.

Такими числами могут быть:

• Дробные рациональные числа (положительные и отрицательные), например: $\frac{1}{2}$, $-5.12$.
• Целые числа, не являющиеся натуральными, то есть ноль и отрицательные целые, например: $0$, $-1$, $-100$.

Выберем два любых числа, удовлетворяющих этому условию, например, одно целое и одно дробное.

Например, $x_1 = -7$ и $x_2 = 0.2$. Оба числа являются рациональными, но не натуральными.

Ответ: -7 и 0.2.

5. Каким из множеств N, Z, Q и R принадлежит:

а) 6;

б) –1,98;

в) 0,5(87);

г) π?

Для определения принадлежности чисел к множествам, вспомним их определения:

• $N$ — множество натуральных чисел. Это числа, которые мы используем при счете предметов: $\{1, 2, 3, 4, ...\}$.
• $Z$ — множество целых чисел. Оно включает в себя натуральные числа, числа, им противоположные, и ноль: $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.
• $Q$ — множество рациональных чисел. Это числа, которые можно представить в виде дроби $m/n$, где $m$ — целое число ($m \in Z$), а $n$ — натуральное число ($n \in N$). К ним относятся все целые числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические десятичные дроби.
• $R$ — множество действительных чисел. Оно объединяет все рациональные и иррациональные числа. Иррациональные числа — это бесконечные непериодические десятичные дроби (например, $\sqrt{2}$, $\pi$).

Важно помнить о вложенности этих множеств: $N \subset Z \subset Q \subset R$. Это значит, что любое натуральное число является одновременно целым, рациональным и действительным.

а) 6

Число 6 — это натуральное число, так как оно используется для счета. Поскольку множество натуральных чисел является подмножеством всех остальных рассматриваемых множеств, число 6 принадлежит каждому из них. Его можно представить как целое число 6, как рациональное число в виде дроби $6/1$ и как действительное число.
Ответ: $6 \in N$, $6 \in Z$, $6 \in Q$, $6 \in R$.

б) -1,98

Число -1,98 не является натуральным (так как оно отрицательное) и не является целым (так как имеет дробную часть). Это число представляет собой конечную десятичную дробь, которую можно записать в виде обыкновенной дроби: $-1,98 = -198/100 = -99/50$. Так как число представимо в виде дроби двух целых чисел, оно является рациональным. Любое рациональное число также является действительным.
Ответ: $-1,98 \in Q$, $-1,98 \in R$.

в) 0,5(87)

Число 0,5(87) — это бесконечная периодическая десятичная дробь, которая равна $0,5878787...$. Оно не является ни натуральным, ни целым числом. Любую бесконечную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби, следовательно, это число рациональное. Так как все рациональные числа являются действительными, оно принадлежит и множеству $R$.
Ответ: $0,5(87) \in Q$, $0,5(87) \in R$.

г) $\pi$

Число $\pi$ (пи) — это иррациональное число. Его десятичное представление является бесконечным и непериодическим ($\pi \approx 3,14159265...$). Иррациональные числа по определению не могут быть представлены в виде дроби $m/n$, поэтому $\pi$ не принадлежит множествам $N$, $Z$ и $Q$. Множество действительных чисел $R$ состоит из рациональных и иррациональных чисел, поэтому $\pi$ принадлежит множеству $R$.
Ответ: $\pi \in R$.

6. Найдите три числа, которые принадлежат:

а) Z и R ;

б) R и N ;

в) Q и R ;

г) N, Q и R.

Для решения этой задачи необходимо вспомнить определения числовых множеств и их соотношения:
$N$ – множество натуральных чисел, то есть чисел, используемых при счете предметов (1, 2, 3, ...).
$Z$ – множество целых чисел, которое включает в себя натуральные числа, им противоположные и ноль (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...).
$Q$ – множество рациональных чисел, то есть чисел, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ – целое число ($m \in Z$), а $n$ – натуральное число ($n \in N$).
$R$ – множество действительных (или вещественных) чисел, которое объединяет рациональные и иррациональные числа.
Эти множества образуют цепочку вложений: $N \subset Z \subset Q \subset R$. Это означает, что любое натуральное число является одновременно и целым, и рациональным, и действительным. Любое целое число является рациональным и действительным, а любое рациональное – действительным.

а) Z и R

Нужно найти три числа, которые одновременно принадлежат множеству целых чисел ($Z$) и множеству действительных чисел ($R$). Поскольку множество целых чисел является подмножеством множества действительных чисел ($Z \subset R$), любое целое число автоматически является и действительным. Таким образом, нам достаточно выбрать любые три целых числа.
Примеры:
1. $-10$: это целое число, следовательно, оно принадлежит $Z$ и $R$.
2. $0$: это целое число, следовательно, оно принадлежит $Z$ и $R$.
3. $125$: это целое число, следовательно, оно принадлежит $Z$ и $R$.
Ответ: -10, 0, 125.

б) R и N

Нужно найти три числа, которые одновременно принадлежат множеству действительных чисел ($R$) и множеству натуральных чисел ($N$). Поскольку множество натуральных чисел является подмножеством множества действительных чисел ($N \subset R$), любое натуральное число является и действительным. Значит, нам нужно выбрать любые три натуральных числа.
Примеры:
1. $1$: это натуральное число, следовательно, оно принадлежит $N$ и $R$.
2. $7$: это натуральное число, следовательно, оно принадлежит $N$ и $R$.
3. $2024$: это натуральное число, следовательно, оно принадлежит $N$ и $R$.
Ответ: 1, 7, 2024.

в) Q и R

Нужно найти три числа, которые одновременно принадлежат множеству рациональных чисел ($Q$) и множеству действительных чисел ($R$). Множество рациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел ($Q \subset R$), поэтому любое рациональное число является и действительным. Выберем три произвольных рациональных числа, включая дробные.
Примеры:
1. $\frac{1}{2}$: это рациональное число (дробь), следовательно, оно принадлежит $Q$ и $R$.
2. $-5$: это целое число, его можно представить как $\frac{-5}{1}$, значит, оно рациональное и принадлежит $Q$ и $R$.
3. $1.75$: эту десятичную дробь можно представить как $\frac{175}{100}$ или $\frac{7}{4}$, значит, это рациональное число, принадлежащее $Q$ и $R$.
Ответ: $\frac{1}{2}$, -5, 1.75.

г) N, Q и R

Нужно найти три числа, которые принадлежат одновременно трем множествам: натуральных ($N$), рациональных ($Q$) и действительных ($R$) чисел. Исходя из вложенности множеств $N \subset Q \subset R$, любое натуральное число ($ \in N$) автоматически является и рациональным ($ \in Q$), и действительным ($ \in R$). Следовательно, задача сводится к выбору трех любых натуральных чисел.
Примеры:
1. $9$: принадлежит $N$, а значит и $Q$, и $R$.
2. $55$: принадлежит $N$, а значит и $Q$, и $R$.
3. $1001$: принадлежит $N$, а значит и $Q$, и $R$.
Ответ: 9, 55, 1001.

7. Представьте в виде бесконечной десятичной периодической дроби число:

В каждом случае выделите период, заключив его в скобки.

а) Чтобы представить дробь $\frac{1}{3}$ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, нужно разделить числитель 1 на знаменатель 3. Выполним деление столбиком:

 1,000 | 3- 0 |------ 1 0 | 0,333...- 9 --- 10- 9 ---- 1...

При делении в остатке постоянно получается 1, а в частном повторяется цифра 3. Таким образом, $\frac{1}{3} = 0,333...$ Период этой дроби — 3.

Ответ: $0,(3)$.

б) Чтобы представить дробь $\frac{2}{3}$ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, разделим 2 на 3:

 2,000 | 3- 0 |------ 2 0 | 0,666...- 18 --- 20- 18 ---- 2...

В остатке постоянно получается 2, а в частном повторяется цифра 6. Следовательно, $\frac{2}{3} = 0,666...$ Период этой дроби — 6.

Ответ: $0,(6)$.

в) Чтобы представить дробь $\frac{5}{6}$ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, разделим 5 на 6:

 5,000 | 6- 0 |------ 5 0 | 0,833...- 48 --- 20- 18 ---- 20- 18 ---- 2...

Первая цифра после запятой — 8. Далее в остатке постоянно получается 2, а в частном повторяется цифра 3. Это смешанная периодическая дробь. Таким образом, $\frac{5}{6} = 0,8333...$ Период дроби — 3.

Ответ: $0,8(3)$.

г) Чтобы представить дробь $\frac{7}{9}$ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, разделим 7 на 9:

 7,000 | 9- 0 |------ 7 0 | 0,777...- 63 --- 70- 63 ---- 7...

В остатке постоянно получается 7, а в частном повторяется цифра 7. Значит, $\frac{7}{9} = 0,777...$ Период этой дроби — 7.

Ответ: $0,(7)$.

д) Сначала представим дробную часть смешанного числа $1\frac{8}{11}$ в виде десятичной дроби. Для этого разделим 8 на 11:

 8,0000 | 11- 0 |-------- 8 0 | 0,7272...- 77 --- 30- 22 ---- 80- 77 ---- 30- 22 ---- 8...

Остатки 8 и 3 чередуются, поэтому в частном повторяется группа цифр 72. Значит, $\frac{8}{11} = 0,7272... = 0,(72)$. Целая часть числа равна 1. Следовательно, $1\frac{8}{11} = 1,7272...$ Период дроби — 72.

Ответ: $1,(72)$.

е) Рассмотрим смешанное число $2\frac{4}{15}$. Целая часть равна 2. Преобразуем дробную часть $\frac{4}{15}$ в десятичную дробь, разделив 4 на 15:

 4,000 | 15- 0 |------ 4 0 | 0,266...- 30 --- 100- 90 ---- 100- 90 ---- 10...

Первая цифра после запятой — 2. Далее в остатке постоянно получается 10, а в частном повторяется цифра 6. Таким образом, $\frac{4}{15} = 0,2666... = 0,2(6)$. Добавляем целую часть 2, получаем $2\frac{4}{15} = 2,2666...$ Период дроби — 6.

Ответ: $2,2(6)$.

8. Представьте число в виде бесконечной десятичной периодической дроби. Округлите результат до десятых; до сотых; до тысячных:

а) Чтобы представить дробь $ \frac{1}{9} $ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, разделим числитель 1 на знаменатель 9. Получаем $ 1 \div 9 = 0.1111... $. В периоде повторяется цифра 1, поэтому дробь записывается как $ 0.(1) $.
Округлим полученный результат $ 0.1111... $:

• до десятых: $ 0.1 $ (так как следующая цифра 1 < 5)
• до сотых: $ 0.11 $ (так как следующая цифра 1 < 5)
• до тысячных: $ 0.111 $ (так как следующая цифра 1 < 5)

Ответ: $ \frac{1}{9} = 0.(1) $; округление до десятых: 0.1; до сотых: 0.11; до тысячных: 0.111.

б) Чтобы представить дробь $ \frac{3}{32} $ в виде десятичной дроби, разделим 3 на 32. Получаем $ 3 \div 32 = 0.09375 $. Это конечная десятичная дробь. Чтобы представить ее в виде бесконечной периодической дроби, нужно добавить бесконечное количество нулей в конце: $ 0.09375000... $, что записывается как $ 0.09375(0) $.
Округлим результат $ 0.09375 $:

• до десятых: $ 0.1 $ (так как следующая цифра 9 ? 5)
• до сотых: $ 0.09 $ (так как следующая цифра 3 < 5)
• до тысячных: $ 0.094 $ (так как следующая цифра 7 ? 5)

Ответ: $ \frac{3}{32} = 0.09375(0) $; округление до десятых: 0.1; до сотых: 0.09; до тысячных: 0.094.

в) Чтобы представить дробь $ \frac{2}{7} $ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, разделим 2 на 7. Получаем $ 2 \div 7 = 0.285714285714... $. В периоде повторяется группа цифр 285714. Запись в виде периодической дроби: $ 0.(285714) $.
Округлим результат $ 0.285714... $:

• до десятых: $ 0.3 $ (так как следующая цифра 8 ? 5)
• до сотых: $ 0.29 $ (так как следующая цифра 5 ? 5)
• до тысячных: $ 0.286 $ (так как следующая цифра 7 ? 5)

Ответ: $ \frac{2}{7} = 0.(285714) $; округление до десятых: 0.3; до сотых: 0.29; до тысячных: 0.286.

г) Чтобы представить дробь $ \frac{13}{64} $ в виде десятичной дроби, разделим 13 на 64. Получаем $ 13 \div 64 = 0.203125 $. Это конечная десятичная дробь. В виде бесконечной периодической дроби она записывается с периодом 0: $ 0.203125(0) $.
Округлим результат $ 0.203125 $:

• до десятых: $ 0.2 $ (так как следующая цифра 0 < 5)
• до сотых: $ 0.20 $ (так как следующая цифра 3 < 5)
• до тысячных: $ 0.203 $ (так как следующая цифра 1 < 5)

Ответ: $ \frac{13}{64} = 0.203125(0) $; округление до десятых: 0.2; до сотых: 0.20; до тысячных: 0.203.

д) Чтобы представить дробь $ \frac{37}{15} $ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, разделим 37 на 15. Получаем $ 37 \div 15 = 2.4666... $. В этой дроби цифра 4 является предпериодом, а цифра 6 повторяется в периоде. Запись дроби: $ 2.4(6) $.
Округлим результат $ 2.4666... $:

• до десятых: $ 2.5 $ (так как следующая цифра 6 ? 5)
• до сотых: $ 2.47 $ (так как следующая цифра 6 ? 5)
• до тысячных: $ 2.467 $ (так как следующая цифра 6 ? 5)

Ответ: $ \frac{37}{15} = 2.4(6) $; округление до десятых: 2.5; до сотых: 2.47; до тысячных: 2.467.

е) Чтобы представить дробь $ \frac{87}{65} $ в виде бесконечной десятичной периодической дроби, разделим 87 на 65. Получаем $ 87 \div 65 = 1.3384615384615... $. В этой дроби цифра 3 после запятой является предпериодом, а группа цифр 384615 повторяется в периоде. Запись дроби: $ 1.3(384615) $.
Округлим результат $ 1.3384615... $:

• до десятых: $ 1.3 $ (так как следующая цифра 3 < 5)
• до сотых: $ 1.34 $ (так как следующая цифра 8 ? 5)
• до тысячных: $ 1.338 $ (так как следующая цифра 4 < 5)

Ответ: $ \frac{87}{65} = 1.3(384615) $; округление до десятых: 1.3; до сотых: 1.34; до тысячных: 1.338.

9. Проверьте, выполнив деление, что верно равенство:

а) Чтобы проверить равенство $2,(3) = 2\frac{1}{3}$, необходимо правую часть равенства, представленную в виде смешанной дроби, преобразовать в десятичную дробь. Для этого сначала переведем смешанную дробь в неправильную:

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.

Теперь выполним деление числителя на знаменатель:

$7 \div 3 = 2,333... = 2,(3)$.

Полученное значение $2,(3)$ совпадает с левой частью равенства.

Ответ: равенство верно.

б) Чтобы проверить равенство $0,1(6) = \frac{1}{6}$, выполним деление числителя на знаменатель в правой части:

$1 \div 6 = 0,1666... = 0,1(6)$.

Полученное значение $0,1(6)$ совпадает с левой частью равенства.

Ответ: равенство верно.

в) Чтобы проверить равенство $7,(18) = 7\frac{2}{11}$, преобразуем смешанную дробь в неправильную:

$7\frac{2}{11} = \frac{7 \cdot 11 + 2}{11} = \frac{79}{11}$.

Теперь выполним деление числителя на знаменатель:

$79 \div 11 = 7,181818... = 7,(18)$.

Полученное значение $7,(18)$ совпадает с левой частью равенства.

Ответ: равенство верно.

г) Чтобы проверить равенство $3,4(6) = 3\frac{7}{15}$, преобразуем смешанную дробь в неправильную:

$3\frac{7}{15} = \frac{3 \cdot 15 + 7}{15} = \frac{45 + 7}{15} = \frac{52}{15}$.

Теперь выполним деление числителя на знаменатель:

$52 \div 15 = 3,4666... = 3,4(6)$.

Полученное значение $3,4(6)$ совпадает с левой частью равенства.

Ответ: равенство верно.

10. Докажите, что разность, произведение и частное двух рациональных чисел (делитель отличен от нуля) — числа рациональные.

Для доказательства воспользуемся определением рационального числа. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а знаменатель $n$ — целое ненулевое число ($n \in \mathbb{Z}, n \neq 0$).

Пусть нам даны два произвольных рациональных числа $r_1$ и $r_2$. Представим их в виде дробей:

$r_1 = \frac{a}{b}$, где $a, b \in \mathbb{Z}$ и $b \neq 0$.

$r_2 = \frac{c}{d}$, где $c, d \in \mathbb{Z}$ и $d \neq 0$.

Разность

Найдем разность чисел $r_1$ и $r_2$:

$r_1 - r_2 = \frac{a}{b} - \frac{c}{d}$

Приведем дроби к общему знаменателю $bd$:

$r_1 - r_2 = \frac{ad}{bd} - \frac{bc}{bd} = \frac{ad - bc}{bd}$

Проанализируем результат. Числитель дроби — это $ad - bc$. Так как $a, b, c, d$ — целые числа, то их произведения $ad$ и $bc$ также являются целыми числами. Разность двух целых чисел ($ad - bc$) — это целое число.

Знаменатель дроби — это $bd$. Так как $b \neq 0$ и $d \neq 0$, то их произведение $bd$ также является целым числом, не равным нулю.

Таким образом, разность $r_1 - r_2$ представлена в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа, а знаменатель не равен нулю. Следовательно, разность двух рациональных чисел является рациональным числом.

Ответ: разность двух рациональных чисел является рациональным числом.

Произведение

Найдем произведение чисел $r_1$ и $r_2$:

$r_1 \cdot r_2 = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$

Проанализируем результат. Числитель дроби $ac$ — это произведение двух целых чисел $a$ и $c$, которое также является целым числом.

Знаменатель дроби $bd$ — это произведение двух ненулевых целых чисел $b$ и $d$, которое является целым и не равным нулю числом.

Таким образом, произведение $r_1 \cdot r_2$ представлено в виде дроби, удовлетворяющей определению рационального числа.

Ответ: произведение двух рациональных чисел является рациональным числом.

Частное

Найдем частное чисел $r_1$ и $r_2$. По условию, делитель $r_2$ отличен от нуля. Если $r_2 = \frac{c}{d} \neq 0$, то это означает, что его числитель $c \neq 0$ (так как знаменатель $d$ уже по определению не равен нулю).

$r_1 : r_2 = \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$

Проанализируем результат. Числитель дроби $ad$ — это произведение двух целых чисел, которое является целым числом.

Знаменатель дроби $bc$ — это произведение двух целых чисел $b$ и $c$. Мы знаем, что $b \neq 0$ (из определения $r_1$) и $c \neq 0$ (так как $r_2 \neq 0$). Следовательно, их произведение $bc$ также является целым числом, не равным нулю.

Таким образом, частное $r_1 : r_2$ представлено в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа, а знаменатель не равен нулю. Это означает, что частное двух рациональных чисел является рациональным числом.

Ответ: частное двух рациональных чисел (при условии, что делитель не равен нулю) является рациональным числом.

11. Запишите, используя знак ∈, утверждение:

а) Число 13 является натуральным;

б) число 0,8 является рациональным;

в) число $\sqrt{3}$ является действительным;

г) число 585 является натуральным;

д) число 0 является целым.

а) Чтобы записать утверждение "Число 13 является натуральным" с использованием знака принадлежности $ \in $, необходимо использовать стандартное обозначение для множества натуральных чисел. Множество натуральных чисел обозначается символом $ \mathbb{N} $. Утверждение, что элемент (в данном случае, число 13) принадлежит множеству (в данном случае, множеству натуральных чисел), записывается как "элемент $ \in $ множество". Таким образом, утверждение "Число 13 является натуральным" записывается как $ 13 \in \mathbb{N} $.

Ответ: $ 13 \in \mathbb{N} $

б) Утверждение "число 0,8 является рациональным" нужно записать с помощью знака $ \in $. Множество рациональных чисел, то есть чисел, которые можно представить в виде дроби $ \frac{p}{q} $, где $ p $ - целое число, а $ q $ - натуральное, обозначается символом $ \mathbb{Q} $. Число 0,8 можно представить в виде дроби $ \frac{8}{10} $ или, после сокращения, $ \frac{4}{5} $. Так как оно представимо в виде дроби, оно является рациональным. Запись этого факта с использованием знака принадлежности выглядит следующим образом: $ 0,8 \in \mathbb{Q} $.

Ответ: $ 0,8 \in \mathbb{Q} $

в) Для записи утверждения "число $ \sqrt{3} $ является действительным" используется знак $ \in $ и обозначение множества действительных чисел $ \mathbb{R} $. Множество действительных чисел включает в себя все рациональные и иррациональные числа. Число $ \sqrt{3} $ является иррациональным, а значит, и действительным. Следовательно, утверждение о принадлежности числа $ \sqrt{3} $ множеству действительных чисел записывается как $ \sqrt{3} \in \mathbb{R} $.

Ответ: $ \sqrt{3} \in \mathbb{R} $

г) Утверждение "число 585 является натуральным" записывается аналогично пункту а). Используем число 585 и множество натуральных чисел $ \mathbb{N} $. Знак $ \in $ показывает, что число принадлежит этому множеству. Таким образом, получаем запись: $ 585 \in \mathbb{N} $.

Ответ: $ 585 \in \mathbb{N} $

д) Чтобы записать утверждение "число 0 является целым", мы используем знак принадлежности $ \in $ и символ для множества целых чисел, который обозначается как $ \mathbb{Z} $. Множество целых чисел включает натуральные числа, им противоположные и ноль. Поскольку 0 является целым числом, мы можем записать: $ 0 \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ 0 \in \mathbb{Z} $