Страница 12 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

22. Расположите в порядке возрастания числа:

Чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо представить их в одном виде. Наиболее удобный способ — преобразовать все числа в десятичные дроби.

Имеем следующие числа: $ -1\frac{1}{3}; -1.3; 1.15; 1\frac{1}{8}; -1.4 $.

1. Переведем смешанные числа в десятичные дроби:
$ -1\frac{1}{3} = -(1 + \frac{1}{3}) = -(1 + 0.333...) = -1.(3) $
$ 1\frac{1}{8} = 1 + \frac{1}{8} = 1 + 0.125 = 1.125 $

2. Теперь наш ряд чисел выглядит так:
$ -1.(3); -1.3; 1.15; 1.125; -1.4 $

3. Сначала сравним отрицательные числа. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше.
Сравним модули: $ |-1.4| = 1.4 $, $ |-1\frac{1}{3}| = |-1.(3)| = 1.(3) $, $ |-1.3| = 1.3 $.
Так как $ 1.4 > 1.(3) > 1.3 $, то в порядке возрастания числа располагаются так: $ -1.4 < -1.(3) < -1.3 $.
В исходном виде: $ -1.4 < -1\frac{1}{3} < -1.3 $.

4. Теперь сравним положительные числа: $ 1.15 $ и $ 1\frac{1}{8} = 1.125 $.
Так как $ 1.125 < 1.15 $, то $ 1\frac{1}{8} < 1.15 $.

5. Объединим отсортированные группы чисел. Сначала идут отрицательные числа, затем положительные.
Получаем следующую последовательность: $ -1.4; -1\frac{1}{3}; -1.3; 1\frac{1}{8}; 1.15 $.

Ответ: $ -1.4; -1\frac{1}{3}; -1.3; 1\frac{1}{8}; 1.15 $.

23. Расположите в порядке убывания числа:

–5,28; –1,634...; –1,34; –1,(3).

Чтобы расположить данные числа в порядке убывания (от самого большого к самому маленькому), необходимо их сравнить. Все представленные числа являются отрицательными. Для отрицательных чисел действует правило: то число больше, модуль которого меньше. Таким образом, нам нужно сравнить модули этих чисел и расположить их в порядке возрастания; исходные числа в порядке убывания будут идти в обратном порядке.

Рассмотрим данные числа: $-5,28$; $-1,634...$; $-1,34$; $-1,(3)$.

Для удобства сравнения представим периодическую дробь $-1,(3)$ в виде бесконечной десятичной дроби: $-1,(3) = -1,333...$

Теперь найдем модули (абсолютные значения) этих чисел:

• $|-5,28| = 5,28$
• $|-1,634...| = 1,634...$
• $|-1,34| = 1,34$
• $|-1,(3)| = |-1,333...| = 1,333...$

Расположим эти модули в порядке возрастания (от наименьшего к наибольшему). Для этого сравним их поразрядно слева направо.

Сравниваем $1,333...$ и $1,34$. Целые части и первые десятичные знаки у них одинаковы. Сравнение вторых десятичных знаков показывает, что $3 < 4$, следовательно, $1,333... < 1,34$.

Сравниваем $1,634...$ с $1,34$. Сравнение первых десятичных знаков показывает, что $6 > 3$, следовательно, $1,634... > 1,34$.

Число $5,28$ имеет наибольшую целую часть, поэтому его модуль самый большой.

Таким образом, модули в порядке возрастания располагаются следующим образом:

$1,333... < 1,34 < 1,634... < 5,28$

Поскольку для отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше, располагаем исходные числа в порядке, обратном порядку их модулей:

$-1,333... > -1,34 > -1,634... > -5,28$

Заменив $-1,333...$ на исходное обозначение $-1,(3)$, получаем итоговый ряд в порядке убывания.

Ответ: $-1,(3)$; $-1,34$; $-1,634...$; $-5,28$.

24. Какие целые числа расположены между числами:

а) –4,122... и 3,895...;

б) –6,240... и –1,328...;

в) –5,07 и –2,708;

г) –2,25 и 0,62?

а) Целые числа, расположенные между числами $-4,122...$ и $3,895...$, — это все целые числа $n$, для которых выполняется двойное неравенство: $-4,122... < n < 3,895...$.

На числовой оси число $-4,122...$ находится левее числа $-4$. Следовательно, наименьшее целое число, которое больше $-4,122...$, — это $-4$.

Число $3,895...$ находится правее числа $3$. Следовательно, наибольшее целое число, которое меньше $3,895...$, — это $3$.

Таким образом, искомые целые числа — это все целые от $-4$ до $3$ включительно.

Ответ: $-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3$.

б) Требуется найти все целые числа $n$, которые удовлетворяют неравенству $-6,240... < n < -1,328...$.

Наименьшее целое число, которое больше $-6,240...$, — это $-6$.

Наибольшее целое число, которое меньше $-1,328...$, — это $-2$.

Следовательно, все целые числа в этом интервале — это числа от $-6$ до $-2$ включительно.

Ответ: $-6, -5, -4, -3, -2$.

в) Ищем все целые числа $n$, расположенные в интервале от $-5,07$ до $-2,708$. Это соответствует неравенству $-5,07 < n < -2,708$.

Наименьшее целое число, которое больше $-5,07$, это $-5$.

Наибольшее целое число, которое меньше $-2,708$, это $-3$.

Следовательно, искомые целые числа — это все целые от $-5$ до $-3$ включительно.

Ответ: $-5, -4, -3$.

г) Необходимо найти все целые числа $n$, для которых верно неравенство $-2,25 < n < 0,62$.

Первое целое число, которое больше $-2,25$, — это $-2$.

Последнее целое число, которое меньше $0,62$, — это $0$.

Таким образом, все целые числа в данном промежутке — это числа от $-2$ до $0$ включительно.

Ответ: $-2, -1, 0$.

25. Сравните числа:

Сравниваем два положительных десятичных числа: $0,017$ и $0,099$. Начинаем сравнение поразрядно слева направо. Целые части обоих чисел равны 0. Десятые доли также равны 0. В разряде сотых у числа $0,017$ стоит цифра 1, а у числа $0,099$ — цифра 9. Так как $1 < 9$, то и все число $0,017$ меньше, чем $0,099$.
Ответ: $0,017 < 0,099$.

Сравниваем два отрицательных числа: $-4,9$ и $-4,25$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Найдем модули чисел: $|-4,9| = 4,9$ и $|-4,25| = 4,25$. Сравним модули: $4,9$ и $4,25$. Для удобства запишем $4,9$ как $4,90$. Сравнивая $4,90$ и $4,25$, видим, что в разряде десятых $9 > 2$, следовательно $4,90 > 4,25$. Поскольку модуль первого числа больше модуля второго, само первое число меньше второго.
Ответ: $-4,9 < -4,25$.

Сравниваем два отрицательных числа: $-8,48$ и $-8,84$. Большим является то число, модуль которого меньше. Найдем модули: $|-8,48| = 8,48$ и $|-8,84| = 8,84$. Сравним модули. Целые части равны 8. В разряде десятых у первого числа стоит 4, а у второго 8. Так как $4 < 8$, то $8,48 < 8,84$. Это означает, что $|-8,48| < |-8,84|$, поэтому исходное число $-8,48$ больше, чем $-8,84$.
Ответ: $-8,48 > -8,84$.

Чтобы сравнить обыкновенную дробь $\frac{11}{16}$ и десятичную $0,6875$, приведем их к одному виду. Переведем обыкновенную дробь в десятичную, разделив числитель на знаменатель: $11 \div 16 = 0,6875$. Теперь мы сравниваем $0,6875$ и $0,6875$. Эти числа равны.
Ответ: $\frac{11}{16} = 0,6875$.

Приведем числа $-2,882$ и $-2\frac{13}{20}$ к одному виду — к десятичным дробям. Для этого переведем дробную часть смешанного числа. $\frac{13}{20} = \frac{13 \times 5}{20 \times 5} = \frac{65}{100} = 0,65$. Значит, $-2\frac{13}{20} = -2,65$. Теперь сравним отрицательные числа $-2,882$ и $-2,65$. Сравним их модули: $2,882$ и $2,65$. В разряде десятых $8 > 6$, значит $2,882 > 2,65$. Так как числа отрицательные, то чем больше модуль, тем меньше само число. Следовательно, $-2,882 < -2,65$.
Ответ: $-2,882 < -2\frac{13}{20}$.

Для сравнения двух обыкновенных дробей $\frac{12}{13}$ и $\frac{13}{14}$ приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $13 \times 14 = 182$.
Приведем дроби: $\frac{12}{13} = \frac{12 \times 14}{13 \times 14} = \frac{168}{182}$
$\frac{13}{14} = \frac{13 \times 13}{14 \times 13} = \frac{169}{182}$
Сравниваем дроби с одинаковыми знаменателями по их числителям. Так как $168 < 169$, то $\frac{168}{182} < \frac{169}{182}$.
Ответ: $\frac{12}{13} < \frac{13}{14}$.

Сравниваются отрицательное число $-6,006$ и положительное число $6,066$. Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа.
Ответ: $-6,006 < 6,066$.

Приведем смешанное число $-34\frac{3}{4}$ к виду десятичной дроби. Дробная часть $\frac{3}{4}$ равна $3 \div 4 = 0,75$. Таким образом, смешанное число $-34\frac{3}{4}$ равно $-34,75$. Сравниваемые числа равны.
Ответ: $-34\frac{3}{4} = -34,75$.

Приведем числа $0,653$ и $\frac{13}{20}$ к одному виду. Переведем обыкновенную дробь в десятичную. $\frac{13}{20} = \frac{13 \times 5}{20 \times 5} = \frac{65}{100} = 0,65$. Теперь сравним $0,653$ и $0,65$. Для удобства запишем второе число как $0,650$. Поразрядное сравнение показывает, что в разряде тысячных $3 > 0$, следовательно, $0,653 > 0,650$.
Ответ: $0,653 > \frac{13}{20}$.

Чтобы сравнить дробь $\frac{3}{7}$ и десятичную дробь $0,43$, приведем их к одному виду. Переведем десятичную дробь $0,43$ в обыкновенную: $0,43 = \frac{43}{100}$. Теперь сравним две обыкновенные дроби: $\frac{3}{7}$ и $\frac{43}{100}$. Приведем их к общему знаменателю $7 \times 100 = 700$.
$\frac{3}{7} = \frac{3 \times 100}{7 \times 100} = \frac{300}{700}$
$\frac{43}{100} = \frac{43 \times 7}{100 \times 7} = \frac{301}{700}$
Сравнивая числители, получаем $300 < 301$. Следовательно, $\frac{300}{700} < \frac{301}{700}$.
Ответ: $\frac{3}{7} < 0,43$.

26. Сравните числа:

а) 2,5 и –25;

б) –3,01 и 3,001;

в) –0,14 и –0,41;

г) –2,35 и –3,25.

а) Сравниваем числа $2,5$ и $-25$.

Число $2,5$ является положительным (находится правее нуля на числовой прямой). Число $-25$ является отрицательным (находится левее нуля на числовой прямой). Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.

Следовательно, $2,5 > -25$.

Ответ: $2,5 > -25$.

б) Сравниваем числа $-3,01$ и $3,001$.

Число $-3,01$ — отрицательное, а число $3,001$ — положительное. Положительное число всегда больше отрицательного.

Следовательно, $-3,01 < 3,001$.

Ответ: $-3,01 < 3,001$.

в) Сравниваем числа $-0,14$ и $-0,41$.

Оба числа являются отрицательными. Чтобы сравнить два отрицательных числа, нужно сравнить их модули (абсолютные величины). Большим будет то число, модуль которого меньше.

Найдем модули данных чисел:

$|-0,14| = 0,14$

$|-0,41| = 0,41$

Теперь сравним их модули: $0,14 < 0,41$.

Так как модуль числа $-0,14$ меньше модуля числа $-0,41$, то само число $-0,14$ больше, чем $-0,41$.

Ответ: $-0,14 > -0,41$.

г) Сравниваем числа $-2,35$ и $-3,25$.

Оба числа являются отрицательными. Воспользуемся правилом сравнения отрицательных чисел: из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

Найдем модули этих чисел:

$|-2,35| = 2,35$

$|-3,25| = 3,25$

Сравним модули: $2,35 < 3,25$.

Поскольку модуль числа $-2,35$ меньше модуля числа $-3,25$, это означает, что число $-2,35$ больше числа $-3,25$. На числовой прямой $-2,35$ расположено правее, чем $-3,25$.

Ответ: $-2,35 > -3,25$.

27. Сравните числа:

а) 2,3(4) и 2,(34);

б) 1,0(5) и 1,0(05);

в) –1,34 и –1,(34);

г) 0,61 и 0,61(1).

Для сравнения периодических десятичных дробей необходимо записать их в развернутом виде и сравнить поразрядно, слева направо, до первого несовпадающего разряда. Большей будет та дробь, у которой соответствующий разряд больше.

а) Сравним числа $2,3(4)$ и $2,(34)$.

Запишем эти числа в развернутом виде:

$2,3(4) = 2,34444...$

$2,(34) = 2,34343...$

Сравниваем числа поразрядно:

• Целые части равны: $2 = 2$.
• Разряд десятых равен: $3 = 3$.
• Разряд сотых равен: $4 = 4$.
• Разряд тысячных у первого числа равен $4$, а у второго $3$.

Так как $4 > 3$, то и число $2,34444...$ больше, чем $2,34343...$.

Следовательно, $2,3(4) > 2,(34)$.

Ответ: $2,3(4) > 2,(34)$.

б) Сравним числа $1,0(5)$ и $1,0(05)$.

Запишем эти числа в развернутом виде:

$1,0(5) = 1,05555...$

$1,0(05) = 1,00505...$

Сравниваем числа поразрядно:

• Целые части равны: $1 = 1$.
• Разряд десятых равен: $0 = 0$.
• Разряд сотых у первого числа равен $5$, а у второго $0$.

Так как $5 > 0$, то и число $1,05555...$ больше, чем $1,00505...$.

Следовательно, $1,0(5) > 1,0(05)$.

Ответ: $1,0(5) > 1,0(05)$.

в) Сравним числа $-1,34$ и $-1,(34)$.

Так как числа отрицательные, сначала сравним их модули (абсолютные величины): $|-1,34| = 1,34$ и $|-1,(34)| = 1,(34)$.

Запишем эти модули в развернутом виде (конечную дробь можно представить в виде бесконечной с периодом 0):

$1,34 = 1,34000...$

$1,(34) = 1,34343...$

Сравниваем модули поразрядно:

• Целые части равны: $1 = 1$.
• Разряд десятых равен: $3 = 3$.
• Разряд сотых равен: $4 = 4$.
• Разряд тысячных у первого числа равен $0$, а у второго $3$.

Так как $0 < 3$, то $1,34 < 1,(34)$.

Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Так как $|-1,34| < |-1,(34)|$, то $-1,34 > -1,(34)$.

Ответ: $-1,34 > -1,(34)$.

г) Сравним числа $0,61$ и $0,61(1)$.

Запишем эти числа в развернутом виде:

$0,61 = 0,61000...$

$0,61(1) = 0,61111...$

Сравниваем числа поразрядно:

• Целые части равны: $0 = 0$.
• Разряд десятых равен: $6 = 6$.
• Разряд сотых равен: $1 = 1$.
• Разряд тысячных у первого числа равен $0$, а у второго $1$.

Так как $0 < 1$, то и число $0,61000...$ меньше, чем $0,61111...$.

Следовательно, $0,61 < 0,61(1)$.

Ответ: $0,61 < 0,61(1)$.

28. Сравните числа:

а) 0,5(45) и 0,(54)

Чтобы сравнить периодические дроби, запишем их в развернутом виде, выписав несколько знаков после запятой.
Первое число: $0,5(45) = 0,545454...$
Второе число: $0,(54) = 0,545454...$
Как видно, десятичные представления этих чисел полностью совпадают. Следовательно, числа равны.

Можно также преобразовать их в обыкновенные дроби.
Для $x = 0,5(45)$:
$10x = 5,(45)$
$1000x = 545,(45)$
$1000x - 10x = 545,(45) - 5,(45) \Rightarrow 990x = 540 \Rightarrow x = \frac{540}{990} = \frac{54}{99} = \frac{6}{11}$.
Для $y = 0,(54)$:
$100y = 54,(54)$
$100y - y = 54,(54) - 0,(54) \Rightarrow 99y = 54 \Rightarrow y = \frac{54}{99} = \frac{6}{11}$.
Так как обе дроби равны $\frac{6}{11}$, то $0,5(45) = 0,(54)$.
Ответ: $0,5(45) = 0,(54)$.

б) 0,54(5) и 0,545

Запишем числа в развернутом виде для поразрядного сравнения.
Первое число: $0,54(5) = 0,54555...$
Второе число (конечная десятичная дробь): $0,545 = 0,54500...$
Сравниваем цифры в разрядах, двигаясь слева направо:
Целая часть: $0 = 0$.
Разряд десятых: $5 = 5$.
Разряд сотых: $4 = 4$.
Разряд тысячных: $5 = 5$.
Разряд десятитысячных: $5 > 0$.
Поскольку в разряде десятитысячных цифра первого числа больше, то и само первое число больше второго.
Ответ: $0,54(5) > 0,545$.

в) 0,(27) и 0,2(72)

Запишем дроби в развернутом виде.
Первое число: $0,(27) = 0,272727...$
Второе число: $0,2(72) = 0,272727...$
Десятичные представления чисел полностью совпадают, значит, числа равны.

Проверим, преобразовав в обыкновенные дроби.
Для $x = 0,(27)$:
$100x = 27,(27) \Rightarrow 99x = 27 \Rightarrow x = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$.
Для $y = 0,2(72)$:
$10y = 2,(72) \Rightarrow 1000y = 272,(72) \Rightarrow 990y = 270 \Rightarrow y = \frac{270}{990} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}$.
Числа равны.
Ответ: $0,(27) = 0,2(72)$.

г) -7,(3) и -7,123

Для сравнения отрицательных чисел нужно сравнить их модули (абсолютные величины). Большим будет то отрицательное число, модуль которого меньше.
Сравним модули: $|-7,(3)|$ и $|-7,123|$.
$|-7,(3)| = 7,(3) = 7,333...$
$|-7,123| = 7,123 = 7,12300...$
Сравниваем $7,333...$ и $7,123...$ поразрядно.
Целые части равны: $7=7$.
В разряде десятых: $3 > 1$.
Следовательно, $7,(3) > 7,123$.
Так как модуль первого числа больше модуля второго, то первое отрицательное число меньше второго (на числовой оси оно находится левее).
Ответ: $-7,(3) < -7,123$.

д) 6,(347) и 6,1(743)

Запишем числа в развернутом виде для поразрядного сравнения.
Первое число: $6,(347) = 6,347347...$
Второе число: $6,1(743) = 6,1743743...$
Сравниваем цифры в разрядах, двигаясь слева направо:
Целая часть: $6 = 6$.
Разряд десятых: $3 > 1$.
Поскольку в разряде десятых цифра первого числа больше, то и само первое число больше второго.
Ответ: $6,(347) > 6,1(743)$.

е) 0,1(0) и 0,0(9)

Рассмотрим оба числа.
Первое число: $0,1(0) = 0,100... = 0,1$. Это конечная десятичная дробь.
Второе число: $0,0(9) = 0,0999...$. Это периодическая дробь с периодом 9.
Существует правило, что бесконечная десятичная дробь с периодом 9 равна конечной десятичной дроби, у которой последняя цифра перед периодом увеличена на единицу.
Таким образом, $0,0(9) = 0,1$.

Проверим это, преобразовав $0,0(9)$ в обыкновенную дробь.
Пусть $z = 0,0(9)$.
$10z = 0,(9)$
$100z = 9,(9)$
$100z - 10z = 9,(9) - 0,(9) \Rightarrow 90z = 9 \Rightarrow z = \frac{9}{90} = \frac{1}{10} = 0,1$.
Поскольку оба числа равны $0,1$, они равны между собой.
Ответ: $0,1(0) = 0,0(9)$.