Страница 10 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

12. Среди чисел

найдите:

а) натуральные числа;

б) целые отрицательные числа;

в) целые неотрицательные числа;

г) рациональные числа;

д) иррациональные числа;

е) действительные числа.

Для решения этой задачи необходимо классифицировать каждое число из предложенного списка в соответствии с определениями различных числовых множеств.

Исходный список чисел: $-2$; $0$; $\sqrt{2}$; $8,83$; $\pi$; $\frac{1}{48}$; $-\sqrt{11}$; $200$; $-100$; $\frac{2}{3}$; $-5,12$; $-\frac{3}{7}$; $0,0002$.

а) натуральные числа

Натуральные числа — это числа, которые используются при счете предметов (1, 2, 3, ...). В данном списке единственное число, которое является натуральным, — это 200.

Ответ: 200.

б) целые отрицательные числа

Целые отрицательные числа — это целые числа, которые меньше нуля. Из предложенного списка к ним относятся -2 и -100.

Ответ: -2; -100.

в) целые неотрицательные числа

Целые неотрицательные числа — это натуральные числа и число ноль (0, 1, 2, 3, ...). В данном списке это 0 и 200.

Ответ: 0; 200.

г) рациональные числа

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. К ним относятся все целые числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби.
В данном списке рациональными являются:
• целые числа: -2, 0, 200, -100;
• конечные десятичные дроби: 8,83; -5,12; 0,0002;
• обыкновенные дроби (которые представляют собой либо конечные, либо периодические десятичные дроби): $\frac{1}{48}$, $\frac{2}{3}$, $-\frac{3}{7}$.
Таким образом, все числа из списка, кроме иррациональных, являются рациональными.

Ответ: -2; 0; 8,83; $\frac{1}{48}$; 200; -100; $\frac{2}{3}$; -5,12; $-\frac{3}{7}$; 0,0002.

д) иррациональные числа

Иррациональные числа — это действительные числа, которые не являются рациональными. Их нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, а их десятичное представление является бесконечным непериодическим.
В данном списке это:
• $\sqrt{2}$ (квадратный корень из числа, не являющегося полным квадратом);
• $\pi$ (математическая константа);
• $-\sqrt{11}$ (квадратный корень из числа, не являющегося полным квадратом, взятый с отрицательным знаком).

Ответ: $\sqrt{2}$; $\pi$; $-\sqrt{11}$.

е) действительные числа

Действительные (или вещественные) числа — это множество, объединяющее рациональные и иррациональные числа. Все числа, представленные в задании, являются действительными.

Ответ: -2; 0; $\sqrt{2}$; 8,83; $\pi$; $\frac{1}{48}$; $-\sqrt{11}$; 200; -100; $\frac{2}{3}$; -5,12; $-\frac{3}{7}$; 0,0002.

13. Какое множество является:

а) объединением множеств N и Z, их пересечением;

б) объединением множеств Q и R, их пересечением;

в) объединением множеств N и Q, их пересечением;

г) объединением множеств Z и R, их пересечением?

Для решения этой задачи необходимо вспомнить определения и соотношения основных числовых множеств.
$N$ – множество натуральных чисел $\{1, 2, 3, ...\}$.
$Z$ – множество целых чисел $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$.
$Q$ – множество рациональных чисел (числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m \in Z$, а $n \in N$).
$R$ – множество действительных чисел (включает все рациональные и иррациональные числа).

Ключевым моментом является то, что эти множества образуют цепочку вложений (каждое предыдущее множество является подмножеством следующего): $N \subset Z \subset Q \subset R$.
Для любых двух множеств $A$ и $B$, где $A$ является подмножеством $B$ ($A \subset B$), справедливы следующие правила:
1. Их объединение равно большему множеству: $A \cup B = B$.
2. Их пересечение равно меньшему множеству: $A \cap B = A$.
Применим эти правила к каждому пункту.

а) объединением множеств N и Z, их пересечением;
Так как множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел ($N \subset Z$), то их объединение равно большему множеству $Z$, а их пересечение равно меньшему множеству $N$.
$N \cup Z = Z$
$N \cap Z = N$
Ответ: объединение — множество целых чисел $Z$, пересечение — множество натуральных чисел $N$.

б) объединением множеств Q и R, их пересечением;
Множество рациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел ($Q \subset R$). Следовательно, их объединение равно $R$, а пересечение равно $Q$.
$Q \cup R = R$
$Q \cap R = Q$
Ответ: объединение — множество действительных чисел $R$, пересечение — множество рациональных чисел $Q$.

в) объединением множеств N и Q, их пересечением;
Множество натуральных чисел является подмножеством множества рациональных чисел ($N \subset Q$). Поэтому их объединение равно $Q$, а пересечение равно $N$.
$N \cup Q = Q$
$N \cap Q = N$
Ответ: объединение — множество рациональных чисел $Q$, пересечение — множество натуральных чисел $N$.

г) объединением множеств Z и R, их пересечением?
Множество целых чисел является подмножеством множества действительных чисел ($Z \subset R$). Таким образом, их объединение равно $R$, а пересечение равно $Z$.
$Z \cup R = R$
$Z \cap R = Z$
Ответ: объединение — множество действительных чисел $R$, пересечение — множество целых чисел $Z$.

14. Отметьте на координатной прямой точки, соответствующие числам:

Для того чтобы отметить на координатной прямой точки, соответствующие данным числам, необходимо сначала оценить их значения, а затем сравнить их друг с другом для определения их порядка на прямой.

1. Оценка значений чисел
v7: Поскольку $2^2 = 4$ и $3^2 = 9$, то $2 < \sqrt{7} < 3$. Приблизительное значение: $\sqrt{7} \approx 2.65$.
-v11: Поскольку $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$, то $3 < \sqrt{11} < 4$. Следовательно, значение $-\sqrt{11}$ находится в интервале $(-4, -3)$. Приблизительное значение: $-\sqrt{11} \approx -3.32$.
v12,3: Поскольку $3^2 = 9$ и $4^2 = 16$, то $3 < \sqrt{12.3} < 4$. Приблизительное значение: $\sqrt{12.3} \approx 3.51$.
12/13: Это правильная дробь, её значение немного меньше 1. При переводе в десятичную дробь: $12 \div 13 \approx 0.92$.
1/2: Это число равно $0.5$.
3 1/3: Это смешанное число, равное $3 + \frac{1}{3} = 3.\overline{3}$.
0: Это начало отсчета.
1,6 + v2: Зная, что $\sqrt{2} \approx 1.41$, получаем $1.6 + \sqrt{2} \approx 1.6 + 1.41 = 3.01$.

2. Упорядочивание чисел
Теперь, имея приблизительные значения, расположим все числа в порядке возрастания (слева направо на координатной прямой). Для более точного сравнения чисел в интервале $(3, 4)$ возведем их в квадрат:

• $(1.6 + \sqrt{2})^2 \approx 3.01^2 \approx 9.06$
• $(3\frac{1}{3})^2 = (\frac{10}{3})^2 = \frac{100}{9} = 11.\overline{1}$
• $(\sqrt{12.3})^2 = 12.3$

Так как $9.06 < 11.\overline{1} < 12.3$, то $1.6+\sqrt{2} < 3\frac{1}{3} < \sqrt{12.3}$.
Полный упорядоченный список:
1. $-\sqrt{11} \approx -3.32$
2. $0$
3. $\frac{1}{2} = 0.5$
4. $\frac{12}{13} \approx 0.92$
5. $\sqrt{7} \approx 2.65$
6. $1.6 + \sqrt{2} \approx 3.01$
7. $3 \frac{1}{3} \approx 3.33$
8. $\sqrt{12.3} \approx 3.51$

3. Описание расположения точек на координатной прямой
На основе полученного порядка, точки на координатной прямой будут располагаться следующим образом:
- Точка -v11 находится между целыми числами $-4$ и $-3$.
- Точка 0 находится в начале координат.
- Точки 1/2 и 12/13 находятся между $0$ и $1$, причём $\frac{1}{2}$ расположена ровно посередине, а $\frac{12}{13}$ — ближе к $1$.
- Точка v7 находится между $2$ и $3$.
- Точки 1,6 + v2, 3 1/3 и v12,3 находятся между $3$ и $4$. Их взаимное расположение: $1.6 + \sqrt{2}$ (очень близко к $3$ справа), затем $3 \frac{1}{3}$ (на одной трети отрезка от 3 до 4), и правее всех $\sqrt{12.3}$ (примерно посередине отрезка от 3 до 4).

Ответ: На координатной прямой числа располагаются в следующем порядке слева направо: $-\sqrt{11}$; $0$; $\frac{1}{2}$; $\frac{12}{13}$; $\sqrt{7}$; $1.6+\sqrt{2}$; $3\frac{1}{3}$; $\sqrt{12,3}$.

15. Укажите пять значений переменной a, при которых число $\sqrt{а}$ является рациональным и пять значений, при которых это число является иррациональным.

Пять значений переменной a, при которых число $\sqrt{a}$ является рациональным
Число $\sqrt{a}$ является рациональным тогда и только тогда, когда подкоренное выражение a является полным квадратом некоторого рационального числа. Это означает, что должно выполняться равенство $a = r^2$, где r — рациональное число. Чтобы найти пять таких значений a, достаточно выбрать пять любых рациональных чисел для r и возвести их в квадрат.
Приведем пять примеров:
1. Пусть $r=0$. Тогда $a = 0^2 = 0$. В этом случае $\sqrt{a} = \sqrt{0} = 0$, что является рациональным числом.
2. Пусть $r=1$. Тогда $a = 1^2 = 1$. В этом случае $\sqrt{a} = \sqrt{1} = 1$, что является рациональным числом.
3. Пусть $r=4$. Тогда $a = 4^2 = 16$. В этом случае $\sqrt{a} = \sqrt{16} = 4$, что является рациональным числом.
4. Пусть $r=0.5$. Тогда $a = (0.5)^2 = 0.25$. В этом случае $\sqrt{a} = \sqrt{0.25} = 0.5$, что является рациональным числом.
5. Пусть $r=\frac{2}{3}$. Тогда $a = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$. В этом случае $\sqrt{a} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$, что является рациональным числом.
Ответ: $a = 0; 1; 16; 0.25; \frac{4}{9}$.

Пять значений, при которых это число является иррациональным
Число $\sqrt{a}$ является иррациональным тогда и только тогда, когда неотрицательное число a не является полным квадратом рационального числа. Чтобы найти такие значения a, достаточно выбрать любое положительное число, которое не является точным квадратом. Проще всего выбрать целые числа, не являющиеся квадратами других целых чисел.
Приведем пять примеров:
1. Пусть $a=2$. Число 2 не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{2}$ — иррациональное число.
2. Пусть $a=3$. Число 3 не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{3}$ — иррациональное число.
3. Пусть $a=5$. Число 5 не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{5}$ — иррациональное число.
4. Пусть $a=8$. Число 8 не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ — иррациональное число.
5. Пусть $a=10$. Число 10 не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{10}$ — иррациональное число.
Ответ: $a = 2; 3; 5; 8; 10$.

16. Приведите пример числа, которое является:

а) рациональным и нецелым;

б) действительным, но не рациональным;

в) целым, но не натуральным.

а) рациональным и нецелым

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Нецелые числа — это все числа, которые не являются целыми (т.е. не принадлежат множеству $Z = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$). Нам нужен пример числа, которое является дробью, но не целым числом. Таким свойством обладает любая конечная десятичная дробь или обыкновенная дробь, не сводящаяся к целому.
Например, число $0.5$. Оно рационально, так как $0.5 = \frac{1}{2}$, и оно не является целым.
Ответ: $0.5$

б) действительным, но не рациональным

Действительные числа — это все числа, которые можно расположить на числовой прямой. Они делятся на рациональные и иррациональные. Число, которое является действительным, но не рациональным, называется иррациональным. Иррациональные числа нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, и их десятичное представление бесконечно и непериодично.
Примером такого числа является квадратный корень из любого натурального числа, не являющегося полным квадратом, например $\sqrt{2}$. Другой известный пример — число $\pi$.
Ответ: $\sqrt{2}$

в) целым, но не натуральным

Множество целых чисел ($Z$) состоит из натуральных чисел ($1, 2, 3, ...$), нуля ($0$) и отрицательных целых чисел ($-1, -2, -3, ...$). Натуральные числа — это числа, которые используются для счёта ($1, 2, 3, ...$). В российской математической традиции $0$ не считается натуральным числом.
Следовательно, целыми, но не натуральными, являются число $0$ и все отрицательные целые числа (например, $-1, -10, -54$).
Ответ: $0$

17. Прочитайте утверждения и выберите верные:

Для решения данной задачи необходимо проанализировать каждое утверждение, определив его истинность или ложность. Вспомним определения числовых множеств:

• $N$ — множество натуральных чисел: $\{1, 2, 3, ...\}$.
• $Z$ — множество целых чисел: $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$.
• $Q$ — множество рациональных чисел, которые можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p \in Z$, $q \in N$. К ним относятся целые числа, конечные и периодические десятичные дроби.
• $R$ — множество действительных (вещественных) чисел, которое включает в себя рациональные и иррациональные числа.

$-18 \in Z$

Множество целых чисел $Z$ включает в себя натуральные числа, им противоположные и ноль. Число -18 является целым отрицательным числом, поэтому оно принадлежит множеству $Z$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

$\frac{12}{15} \in N$

Множество натуральных чисел $N$ состоит из целых положительных чисел, используемых при счете. Вычислим значение дроби: $\frac{12}{15} = \frac{4}{5} = 0,8$. Число 0,8 не является натуральным числом. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

$3,38 \notin Q$

Множество рациональных чисел $Q$ включает все числа, которые можно представить в виде дроби. Конечная десятичная дробь 3,38 может быть представлена как $\frac{338}{100}$, следовательно, $3,38$ является рациональным числом ($3,38 \in Q$). Утверждение, что оно не принадлежит $Q$, неверно.

Ответ: неверно.

$205 \in Q$

Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1. $205 = \frac{205}{1}$. Таким образом, 205 принадлежит множеству рациональных чисел $Q$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

$2,5 \notin R$

Множество действительных чисел $R$ включает в себя все рациональные и иррациональные числа. Число 2,5 является рациональным ($2,5 = \frac{5}{2}$), а значит, и действительным числом. Утверждение, что $2,5$ не является действительным числом, неверно.

Ответ: неверно.

$2 + \sqrt{2} \in R$

Число 2 является действительным числом, и число $\sqrt{2}$ является действительным (иррациональным) числом. Сумма двух действительных чисел всегда является действительным числом. Следовательно, выражение $2 + \sqrt{2}$ принадлежит множеству действительных чисел $R$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

$\sqrt{3} \notin N$

Множество натуральных чисел $N$ состоит из целых положительных чисел $\{1, 2, 3, ...\}$. Корень из трех $\sqrt{3} \approx 1,732...$ не является целым числом. Следовательно, $\sqrt{3}$ не принадлежит множеству натуральных чисел. Утверждение верно.

Ответ: верно.

$\sqrt{2} \in Q$

Число $\sqrt{2}$ является классическим примером иррационального числа. Это означает, что его невозможно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые числа. Следовательно, $\sqrt{2}$ не принадлежит множеству рациональных чисел $Q$. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

$3\frac{1}{4} + 0,25 \in R$

Вычислим значение выражения. Смешанную дробь $3\frac{1}{4}$ можно записать как десятичную $3,25$. Тогда $3,25 + 0,25 = 3,5$. Число 3,5 является рациональным ($3,5 = \frac{7}{2}$), а все рациональные числа являются действительными. Следовательно, выражение принадлежит множеству $R$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

$0,15 \in Z$

Множество целых чисел $Z$ не включает дробные числа. 0,15 — это десятичная дробь, а не целое число. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

$0,(8) \in R$

Выражение $0,(8)$ обозначает бесконечную периодическую дробь $0,888...$. Любая периодическая дробь является рациональным числом ($0,(8) = \frac{8}{9}$). Все рациональные числа входят в множество действительных чисел $R$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

$4 + \sqrt{4} \in Z$

Вычислим значение выражения: $\sqrt{4} = 2$. Тогда $4 + \sqrt{4} = 4 + 2 = 6$. Число 6 является целым числом и, следовательно, принадлежит множеству $Z$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

18. Запишите с помощью знака ⊂ соотношения между множествами:

а) Q и N ;

б) Q и Z ;

в) R и N ;

г) R и Z.

Для того чтобы записать соотношения между множествами с помощью знака $\subset$ (является подмножеством), необходимо определить, все ли элементы одного множества содержатся в другом.

Вспомним определения числовых множеств:

• $N$ – множество натуральных чисел: $\{1, 2, 3, ...\}$.
• $Z$ – множество целых чисел: $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$.
• $Q$ – множество рациональных чисел, то есть чисел, представимых в виде дроби $m/n$, где $m \in Z$, $n \in N$.
• $R$ – множество действительных чисел, которое включает в себя все рациональные и иррациональные числа.

Между этими множествами существует следующая иерархия вложений: любое натуральное число является целым, любое целое – рациональным, а любое рациональное – действительным. Это можно записать в виде цепочки: $N \subset Z \subset Q \subset R$.

Используя эту информацию, решим каждый подпункт.

а) Q и N

Рассмотрим множества рациональных чисел $Q$ и натуральных чисел $N$. Любое натуральное число $n$ можно представить в виде дроби со знаменателем 1, то есть $n = n/1$. Так как $n$ является целым числом ($n \in Z$) и $1$ является натуральным числом ($1 \in N$), то по определению любое натуральное число является рациональным. Таким образом, все элементы множества $N$ содержатся в множестве $Q$. Следовательно, $N$ является подмножеством $Q$.

Ответ: $N \subset Q$.

б) Q и Z

Рассмотрим множества рациональных чисел $Q$ и целых чисел $Z$. Любое целое число $z$ можно представить в виде дроби $z/1$. Так как $z \in Z$ и $1 \in N$, то по определению любое целое число является рациональным. Это означает, что все элементы множества $Z$ содержатся в множестве $Q$. Следовательно, $Z$ является подмножеством $Q$.

Ответ: $Z \subset Q$.

в) R и N

Рассмотрим множества действительных чисел $R$ и натуральных чисел $N$. Как было показано в пункте а), любое натуральное число является рациональным ($N \subset Q$). В свою очередь, множество рациональных чисел является подмножеством множества действительных чисел ($Q \subset R$). Из этого следует, что любое натуральное число является действительным. Таким образом, $N$ является подмножеством $R$.

Ответ: $N \subset R$.

г) R и Z

Рассмотрим множества действительных чисел $R$ и целых чисел $Z$. Как было показано в пункте б), любое целое число является рациональным ($Z \subset Q$). Так как все рациональные числа являются действительными ($Q \subset R$), то и все целые числа являются действительными. Следовательно, $Z$ является подмножеством $R$.

Ответ: $Z \subset R$.

19. Изобразите на координатной прямой множество чисел, удовлетворяющее неравенству:

а) Для неравенства $x < 3$ на координатной прямой необходимо отметить точку 3. Поскольку неравенство является строгим (используется знак $<$), сама точка 3 не входит в множество решений, поэтому мы изображаем ее в виде "выколотого" (пустого) кружка. Множеством решений являются все числа, которые строго меньше 3. Следовательно, мы заштриховываем всю часть координатной прямой, расположенную левее точки 3.

Ответ: $x \in (-\infty; 3)$.

б) Для двойного неравенства $-2 < x < 4$ на координатной прямой отмечаем две точки: -2 и 4. Так как обе части неравенства строгие (знаки $<$), точки -2 и 4 не включаются в решение и изображаются "выколотыми" (пустыми) кружками. Решением является множество всех чисел, находящихся между -2 и 4. Соответственно, заштриховываем интервал на прямой между точками -2 и 4.

Ответ: $x \in (-2; 4)$.

в) Для неравенства $x \ge 1$ на координатной прямой отмечаем точку 1. Поскольку неравенство нестрогое (знак $\ge$), точка 1 включается в множество решений и изображается в виде закрашенного кружка. Решением являются все числа, которые больше или равны 1. Поэтому мы заштриховываем всю часть координатной прямой, расположенную правее точки 1, включая саму точку 1.

Ответ: $x \in [1; +\infty)$.

г) Для двойного неравенства $5 \le x \le 7,5$ на координатной прямой отмечаем точки 5 и 7,5. Так как обе части неравенства нестрогие (знаки $\le$), обе точки включаются в решение и изображаются закрашенными кружками. Решением является множество всех чисел, находящихся между 5 и 7,5, включая эти точки. Заштриховываем отрезок на прямой между точками 5 и 7,5.

Ответ: $x \in [5; 7,5]$.

д) Для двойного неравенства $0 < x \le 2,5$ на координатной прямой отмечаем точки 0 и 2,5. Левая часть неравенства строгая ($<$), поэтому точка 0 не входит в решение и изображается "выколотым" кружком. Правая часть неравенства нестрогая ($\le$), поэтому точка 2,5 входит в решение и изображается закрашенным кружком. Решением является множество всех чисел, которые больше 0 и одновременно меньше или равны 2,5. Заштриховываем промежуток на прямой между 0 и 2,5.

Ответ: $x \in (0; 2,5]$.

е) Для неравенства $x \ge 10,5$ на координатной прямой отмечаем точку 10,5. Неравенство нестрогое (знак $\ge$), поэтому точка 10,5 включается в множество решений и изображается закрашенным кружком. Решением являются все числа, которые больше или равны 10,5. Мы заштриховываем всю часть координатной прямой, расположенную правее точки 10,5, включая саму точку.

Ответ: $x \in [10,5; +\infty)$.