Страница 19 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

57. Одна секунда — мгновение для человека и целая эпоха с точки зрения атомов и электронов. Невооружённый человеческий взгляд может заметить явления, длящиеся буквально единицы миллисекунд (1 миллисекунда равна 10⁻³ с). Одна наносекунда ещё меньше и составляет 10⁻⁹ с. Посчитайте дистанцию, которую пройдёт частица со скоростью света за одну наносекунду, и результат запишите в миллиметрах.

Чтобы найти дистанцию, которую пройдет частица со скоростью света за одну наносекунду, мы используем основную формулу для расчета расстояния при постоянной скорости:

$S = v \cdot t$

где $S$ — искомое расстояние, $v$ — скорость частицы, а $t$ — время движения.

Нам известны следующие величины:

Скорость частицы $v$ равна скорости света в вакууме, $c$. Мы используем ее общепринятое значение: $c \approx 3 \times 10^8$ м/с.

Время движения $t$ составляет одну наносекунду, что, согласно условию, равно $10^{-9}$ с.

Теперь подставим эти значения в формулу и рассчитаем расстояние в метрах:

$S = (3 \times 10^8 \text{ м/с}) \times (10^{-9} \text{ с}) = 3 \times 10^{8-9} \text{ м} = 3 \times 10^{-1} \text{ м} = 0.3 \text{ м}$.

По условию задачи, результат нужно выразить в миллиметрах. Для этого выполним перевод единиц измерения, зная, что в одном метре содержится 1000 миллиметров ($1 \text{ м} = 10^3 \text{ мм}$):

$S = 0.3 \text{ м} \times 1000 \frac{\text{мм}}{\text{м}} = 300 \text{ мм}$.

Таким образом, за одну наносекунду свет проходит расстояние, равное 300 миллиметрам.

Ответ: 300 мм.

58. Современные фотоаппараты делают огромное количество кадров за короткий промежуток времени. Рекорд составляет 6 миллионов кадров за секунду. Можно увидеть события, которые человеческий глаз никогда не сможет уловить. За какое время происходит один кадр в таком фотоаппарате? Результат запишите в наносекундах.

По условию задачи, фотоаппарат делает 6 миллионов кадров за одну секунду. Это значение представляет собой частоту кадров ($f$).

$f = 6 \, 000 \, 000 \text{ кадров/с} = 6 \times 10^6 \text{ с}^{-1}$

Чтобы найти время, за которое происходит один кадр ($t_{кадра}$), необходимо вычислить величину, обратную частоте. Эта величина называется периодом.

$t_{кадра} = \frac{1}{f} = \frac{1}{6 \times 10^6} \text{ с}$

Результат необходимо представить в наносекундах (нс). Для этого воспользуемся соотношением, что в одной секунде $10^9$ наносекунд:

$1 \text{ с} = 10^9 \text{ нс}$

Теперь переведем полученное время в наносекунды:

$t_{кадра} (\text{нс}) = \frac{1}{6 \times 10^6} \text{ с} \times 10^9 \frac{\text{нс}}{\text{с}} = \frac{10^9}{6 \times 10^6} \text{ нс}$

Упростим полученное выражение, выполнив действия со степенями:

$\frac{10^9}{6 \times 10^6} = \frac{10^{9-6}}{6} = \frac{10^3}{6} = \frac{1000}{6} \text{ нс}$

Вычислим конечное значение:

$\frac{1000}{6} = \frac{500}{3} = 166.666... \approx 166.67 \text{ нс}$

Время, за которое происходит один кадр, составляет примерно $166.67$ наносекунд.

Ответ: $\approx 166.67$ нс.

59. Упростите выражение:

а) $\left(\frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b}\right) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b - a}$

Решим задачу по действиям.

1. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю.

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

$2a + 2b = 2(a + b)$

Общий знаменатель для дробей в скобках: $2(a - b)(a + b)$.

$\frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b} = \frac{2ab}{(a - b)(a + b)} + \frac{a - b}{2(a + b)} = \frac{2ab \cdot 2}{2(a - b)(a + b)} + \frac{(a - b)(a - b)}{2(a - b)(a + b)} = \frac{4ab + (a - b)^2}{2(a - b)(a + b)}$

Раскроем квадрат разности в числителе: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$\frac{4ab + a^2 - 2ab + b^2}{2(a - b)(a + b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2(a - b)(a + b)}$

Свернем числитель по формуле квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

$\frac{(a + b)^2}{2(a - b)(a + b)} = \frac{a + b}{2(a - b)}$

2. Теперь выполним умножение.

$\frac{a + b}{2(a - b)} \cdot \frac{2a}{a + b} = \frac{(a + b) \cdot 2a}{2(a - b)(a + b)}$

Сократим общие множители $2$ и $(a + b)$.

$\frac{a}{a - b}$

3. Выполним сложение.

$\frac{a}{a - b} + \frac{b}{b - a}$

В знаменателе второй дроби вынесем минус за скобки: $b - a = -(a - b)$.

$\frac{a}{a - b} + \frac{b}{-(a - b)} = \frac{a}{a - b} - \frac{b}{a - b} = \frac{a - b}{a - b} = 1$

Ответ: 1

б) $\frac{y}{x - y} - \frac{x^3 - xy^2}{x^2 + y^2} \cdot \left(\frac{x}{(x - y)^2} - \frac{y}{x^2 - y^2}\right)$

Решим задачу по действиям, начиная с выражения в скобках.

1. Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатель $x^2 - y^2$ на множители: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

$\frac{x}{(x - y)^2} - \frac{y}{(x - y)(x + y)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x - y)^2(x + y)$.

$\frac{x(x + y)}{(x - y)^2(x + y)} - \frac{y(x - y)}{(x - y)^2(x + y)} = \frac{x(x + y) - y(x - y)}{(x - y)^2(x + y)}$

Раскроем скобки в числителе.

$\frac{x^2 + xy - yx + y^2}{(x - y)^2(x + y)} = \frac{x^2 + y^2}{(x - y)^2(x + y)}$

2. Теперь выполним умножение. Сначала преобразуем дробь $\frac{x^3 - xy^2}{x^2 + y^2}$.

Вынесем $x$ в числителе: $x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x - y)(x + y)$.

Дробь примет вид: $\frac{x(x - y)(x + y)}{x^2 + y^2}$.

Теперь умножим результат на выражение, полученное в первом действии.

$\frac{x(x - y)(x + y)}{x^2 + y^2} \cdot \frac{x^2 + y^2}{(x - y)^2(x + y)}$

Сократим общие множители $(x^2 + y^2)$, $(x + y)$ и $(x - y)$.

$\frac{x \cdot 1 \cdot 1}{1} \cdot \frac{1}{(x - y) \cdot 1} = \frac{x}{x - y}$

3. Выполним вычитание.

$\frac{y}{x - y} - \frac{x}{x - y} = \frac{y - x}{x - y}$

Вынесем в числителе -1 за скобки.

$\frac{-(x - y)}{x - y} = -1$

Ответ: -1

60. Решите систему уравнений:

а)

Дана система уравнений:

Для решения системы используем метод подстановки. Выразим переменную $x$ из первого уравнения:

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ay^2+by+c=0$:

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого корня $y$, используя выражение $x = 1 + y$:

1. Если $y_1 = -16$, то $x_1 = 1 + (-16) = -15$.

2. Если $y_2 = 15$, то $x_2 = 1 + 15 = 16$.

Таким образом, система имеет два решения в виде пар $(x; y)$.

Ответ: $(-15; -16), (16; 15)$.

б)

Дана система уравнений:

Воспользуемся методом подстановки. Выразим переменную $y$ из второго уравнения:

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

Раскроем скобки, применив формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

Приведем подобные слагаемые и преобразуем уравнение в стандартный квадратный вид $ax^2+bx+c=0$:

Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на 5:

Решим полученное приведенное квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета. Сумма корней равна $12$, а их произведение равно $32$. Методом подбора находим корни:

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в выражение $y = 2x - 15$:

1. Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 2(4) - 15 = 8 - 15 = -7$.

2. Если $x_2 = 8$, то $y_2 = 2(8) - 15 = 16 - 15 = 1$.

Таким образом, система имеет два решения в виде пар $(x; y)$.

Ответ: $(4; -7), (8; 1)$.

61. Сколько решений имеет уравнение:

а)

Чтобы найти количество решений уравнения $\frac{25}{x} = 2x - 5$, преобразуем его.
Прежде всего, отметим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $x$:
$25 = x(2x - 5)$
$25 = 2x^2 - 5x$
Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$2x^2 - 5x - 25 = 0$
Для решения этого уравнения вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-25) = 25 + 200 = 225$
Поскольку дискриминант $D > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем эти корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 15}{4} = \frac{20}{4} = 5$
$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 15}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$
Оба найденных корня ($5$ и $-2.5$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).
Таким образом, данное уравнение имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

б)

Рассмотрим уравнение $x^3 = |x|$.
Чтобы решить его, необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$.

Случай 1: $x \ge 0$
При $x \ge 0$, модуль $|x|$ равен $x$. Уравнение принимает вид:
$x^3 = x$
$x^3 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 1) = 0$
Разложим на множители разность квадратов:
$x(x-1)(x+1) = 0$
Возможные корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.
Из этих корней условию $x \ge 0$ удовлетворяют только $x=0$ и $x=1$.

Случай 2: $x < 0$
При $x < 0$, модуль $|x|$ равен $-x$. Уравнение принимает вид:
$x^3 = -x$
$x^3 + x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 + 1) = 0$
Это равенство выполняется, если $x=0$ или $x^2+1=0$.
Уравнение $x^2+1=0$ (или $x^2 = -1$) не имеет действительных корней.
Корень $x=0$ не удовлетворяет условию данного случая ($x < 0$).
Следовательно, в этом случае решений нет.

Объединив результаты обоих случаев, мы получаем два решения: $x=0$ и $x=1$.

Ответ: 2 решения.