Номер 61, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Размеры объектов и длительность процессов в окружающем мире. Параграф 2. Приложения математики в реальной жизни. Глава 1. Числа и вычисления - номер 61, страница 19.

Условие.

61. Сколько решений имеет уравнение:

Решение 1.

Решение 8.

а)

Чтобы найти количество решений уравнения $\frac{25}{x} = 2x - 5$, преобразуем его.
Прежде всего, отметим область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $x$:
$25 = x(2x - 5)$
$25 = 2x^2 - 5x$
Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:
$2x^2 - 5x - 25 = 0$
Для решения этого уравнения вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-25) = 25 + 200 = 225$
Поскольку дискриминант $D > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.
Найдем эти корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 15}{4} = \frac{20}{4} = 5$
$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 15}{4} = \frac{-10}{4} = -2.5$
Оба найденных корня ($5$ и $-2.5$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).
Таким образом, данное уравнение имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

б)

Рассмотрим уравнение $x^3 = |x|$.
Чтобы решить его, необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$.

Случай 1: $x \ge 0$
При $x \ge 0$, модуль $|x|$ равен $x$. Уравнение принимает вид:
$x^3 = x$
$x^3 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 1) = 0$
Разложим на множители разность квадратов:
$x(x-1)(x+1) = 0$
Возможные корни: $x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$.
Из этих корней условию $x \ge 0$ удовлетворяют только $x=0$ и $x=1$.

Случай 2: $x < 0$
При $x < 0$, модуль $|x|$ равен $-x$. Уравнение принимает вид:
$x^3 = -x$
$x^3 + x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 + 1) = 0$
Это равенство выполняется, если $x=0$ или $x^2+1=0$.
Уравнение $x^2+1=0$ (или $x^2 = -1$) не имеет действительных корней.
Корень $x=0$ не удовлетворяет условию данного случая ($x < 0$).
Следовательно, в этом случае решений нет.

Объединив результаты обоих случаев, мы получаем два решения: $x=0$ и $x=1$.

Ответ: 2 решения.