Номер 60, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Размеры объектов и длительность процессов в окружающем мире. Параграф 2. Приложения математики в реальной жизни. Глава 1. Числа и вычисления - номер 60, страница 19.

Условие.

60. Решите систему уравнений:

Решение 1.

Решение 8.

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = 1, \\ xy = 240; \end{cases} $$

Для решения системы используем метод подстановки. Выразим переменную $x$ из первого уравнения:

$$ x = 1 + y $$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$$ (1 + y)y = 240 $$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ay^2+by+c=0$:

$$ y + y^2 = 240 $$$$ y^2 + y - 240 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение относительно $y$. Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-240) = 1 + 960 = 961 $$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$$ y_1 = \frac{-1 - \sqrt{961}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 31}{2} = \frac{-32}{2} = -16 $$$$ y_2 = \frac{-1 + \sqrt{961}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 31}{2} = \frac{30}{2} = 15 $$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого корня $y$, используя выражение $x = 1 + y$:

1. Если $y_1 = -16$, то $x_1 = 1 + (-16) = -15$.

2. Если $y_2 = 15$, то $x_2 = 1 + 15 = 16$.

Таким образом, система имеет два решения в виде пар $(x; y)$.

Ответ: $(-15; -16), (16; 15)$.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 65, \\ 2x - y = 15. \end{cases} $$

Воспользуемся методом подстановки. Выразим переменную $y$ из второго уравнения:

$$ y = 2x - 15 $$

Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$$ x^2 + (2x - 15)^2 = 65 $$

Раскроем скобки, применив формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$$ x^2 + (4x^2 - 2 \cdot 2x \cdot 15 + 15^2) = 65 $$$$ x^2 + 4x^2 - 60x + 225 = 65 $$

Приведем подобные слагаемые и преобразуем уравнение в стандартный квадратный вид $ax^2+bx+c=0$:

$$ 5x^2 - 60x + 225 - 65 = 0 $$$$ 5x^2 - 60x + 160 = 0 $$

Для упрощения вычислений разделим все члены уравнения на 5:

$$ x^2 - 12x + 32 = 0 $$

Решим полученное приведенное квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета. Сумма корней равна $12$, а их произведение равно $32$. Методом подбора находим корни:

$$ x_1 = 4, \quad x_2 = 8 $$

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в выражение $y = 2x - 15$:

1. Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 2(4) - 15 = 8 - 15 = -7$.

2. Если $x_2 = 8$, то $y_2 = 2(8) - 15 = 16 - 15 = 1$.

Таким образом, система имеет два решения в виде пар $(x; y)$.

Ответ: $(4; -7), (8; 1)$.