Номер 59, страница 19 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

4. Размеры объектов и длительность процессов в окружающем мире. Параграф 2. Приложения математики в реальной жизни. Глава 1. Числа и вычисления - номер 59, страница 19.

Условие.

59. Упростите выражение:

Решение 1.

Решение 8.

а) $\left(\frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b}\right) \cdot \frac{2a}{a + b} + \frac{b}{b - a}$

Решим задачу по действиям.

1. Упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатели на множители и приведем дроби к общему знаменателю.

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

$2a + 2b = 2(a + b)$

Общий знаменатель для дробей в скобках: $2(a - b)(a + b)$.

$\frac{2ab}{a^2 - b^2} + \frac{a - b}{2a + 2b} = \frac{2ab}{(a - b)(a + b)} + \frac{a - b}{2(a + b)} = \frac{2ab \cdot 2}{2(a - b)(a + b)} + \frac{(a - b)(a - b)}{2(a - b)(a + b)} = \frac{4ab + (a - b)^2}{2(a - b)(a + b)}$

Раскроем квадрат разности в числителе: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$\frac{4ab + a^2 - 2ab + b^2}{2(a - b)(a + b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{2(a - b)(a + b)}$

Свернем числитель по формуле квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

$\frac{(a + b)^2}{2(a - b)(a + b)} = \frac{a + b}{2(a - b)}$

2. Теперь выполним умножение.

$\frac{a + b}{2(a - b)} \cdot \frac{2a}{a + b} = \frac{(a + b) \cdot 2a}{2(a - b)(a + b)}$

Сократим общие множители $2$ и $(a + b)$.

$\frac{a}{a - b}$

3. Выполним сложение.

$\frac{a}{a - b} + \frac{b}{b - a}$

В знаменателе второй дроби вынесем минус за скобки: $b - a = -(a - b)$.

$\frac{a}{a - b} + \frac{b}{-(a - b)} = \frac{a}{a - b} - \frac{b}{a - b} = \frac{a - b}{a - b} = 1$

Ответ: 1

б) $\frac{y}{x - y} - \frac{x^3 - xy^2}{x^2 + y^2} \cdot \left(\frac{x}{(x - y)^2} - \frac{y}{x^2 - y^2}\right)$

Решим задачу по действиям, начиная с выражения в скобках.

1. Упростим выражение в скобках. Разложим знаменатель $x^2 - y^2$ на множители: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

$\frac{x}{(x - y)^2} - \frac{y}{(x - y)(x + y)}$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x - y)^2(x + y)$.

$\frac{x(x + y)}{(x - y)^2(x + y)} - \frac{y(x - y)}{(x - y)^2(x + y)} = \frac{x(x + y) - y(x - y)}{(x - y)^2(x + y)}$

Раскроем скобки в числителе.

$\frac{x^2 + xy - yx + y^2}{(x - y)^2(x + y)} = \frac{x^2 + y^2}{(x - y)^2(x + y)}$

2. Теперь выполним умножение. Сначала преобразуем дробь $\frac{x^3 - xy^2}{x^2 + y^2}$.

Вынесем $x$ в числителе: $x^3 - xy^2 = x(x^2 - y^2) = x(x - y)(x + y)$.

Дробь примет вид: $\frac{x(x - y)(x + y)}{x^2 + y^2}$.

Теперь умножим результат на выражение, полученное в первом действии.

$\frac{x(x - y)(x + y)}{x^2 + y^2} \cdot \frac{x^2 + y^2}{(x - y)^2(x + y)}$

Сократим общие множители $(x^2 + y^2)$, $(x + y)$ и $(x - y)$.

$\frac{x \cdot 1 \cdot 1}{1} \cdot \frac{1}{(x - y) \cdot 1} = \frac{x}{x - y}$

3. Выполним вычитание.

$\frac{y}{x - y} - \frac{x}{x - y} = \frac{y - x}{x - y}$

Вынесем в числителе -1 за скобки.

$\frac{-(x - y)}{x - y} = -1$

Ответ: -1