Страница 25 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

73. Упростите выражение:

а)

Данное выражение: $ \left( \frac{a - 3}{a^2 - 3a + 9} - \frac{6a - 18}{a^3 + 27} \right) : \frac{5a - 15}{4a^3 + 108} $.

1. Сначала упростим выражение в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Знаменатель второй дроби $ a^3 + 27 $ можно разложить на множители по формуле суммы кубов: $ a^3 + 3^3 = (a + 3)(a^2 - 3a + 9) $. Знаменатель первой дроби $ a^2 - 3a + 9 $ является частью этого разложения.

Общий знаменатель для дробей в скобках — $ a^3 + 27 $. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ (a + 3) $:

$ \frac{a - 3}{a^2 - 3a + 9} = \frac{(a - 3)(a + 3)}{(a + 3)(a^2 - 3a + 9)} = \frac{a^2 - 9}{a^3 + 27} $.

Теперь выполним вычитание дробей в скобках:

$ \frac{a^2 - 9}{a^3 + 27} - \frac{6a - 18}{a^3 + 27} = \frac{(a^2 - 9) - (6a - 18)}{a^3 + 27} = \frac{a^2 - 9 - 6a + 18}{a^3 + 27} = \frac{a^2 - 6a + 9}{a^3 + 27} $.

Числитель $ a^2 - 6a + 9 $ является полным квадратом разности: $ (a - 3)^2 $.

Таким образом, выражение в скобках упрощается до $ \frac{(a - 3)^2}{a^3 + 27} $.

2. Упростим делитель $ \frac{5a - 15}{4a^3 + 108} $. Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:

$ \frac{5(a - 3)}{4(a^3 + 27)} $.

3. Выполним деление. Деление на дробь — это то же самое, что и умножение на обратную ей дробь:

$ \frac{(a - 3)^2}{a^3 + 27} : \frac{5(a - 3)}{4(a^3 + 27)} = \frac{(a - 3)^2}{a^3 + 27} \cdot \frac{4(a^3 + 27)}{5(a - 3)} $.

Сократим одинаковые множители $ (a^3 + 27) $ в числителе и знаменателе, а также один множитель $ (a - 3) $:

$ \frac{(a - 3) \cdot (a - 3)}{1} \cdot \frac{4}{5(a - 3)} = \frac{4(a - 3)}{5} $.

Ответ: $ \frac{4(a - 3)}{5} $

б)

Данное выражение: $ \frac{ab^2 - a^2b}{a + b} \cdot \frac{a + \frac{ab}{a - b}}{a - \frac{ab}{a + b}} $.

1. Упростим первый множитель, вынеся за скобки общий множитель $ ab $ в числителе:

$ \frac{ab^2 - a^2b}{a + b} = \frac{ab(b - a)}{a + b} $.

2. Упростим второй множитель, который представляет собой сложную дробь. Для этого преобразуем его числитель и знаменатель.

Упростим числитель сложной дроби:

$ a + \frac{ab}{a - b} = \frac{a(a - b)}{a - b} + \frac{ab}{a - b} = \frac{a^2 - ab + ab}{a - b} = \frac{a^2}{a - b} $.

Упростим знаменатель сложной дроби:

$ a - \frac{ab}{a + b} = \frac{a(a + b)}{a + b} - \frac{ab}{a + b} = \frac{a^2 + ab - ab}{a + b} = \frac{a^2}{a + b} $.

Теперь второй множитель имеет вид:

$ \frac{\frac{a^2}{a - b}}{\frac{a^2}{a + b}} = \frac{a^2}{a - b} \cdot \frac{a + b}{a^2} $.

Сократив $ a^2 $, получим: $ \frac{a + b}{a - b} $.

3. Перемножим упрощенные части выражения:

$ \frac{ab(b - a)}{a + b} \cdot \frac{a + b}{a - b} $.

Так как $ b - a = -(a - b) $, мы можем переписать выражение следующим образом:

$ \frac{-ab(a - b)}{a + b} \cdot \frac{a + b}{a - b} $.

Теперь сократим общие множители $ (a - b) $ и $ (a + b) $ в числителе и знаменателе:

$ -ab $.

Ответ: $ -ab $

74. Решите систему уравнений:

а)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3y - 2x = 10, \\ 7x + 5y = 27. \end{cases} $

Для удобства решения методом алгебраического сложения приведем уравнения к стандартному виду $ax + by = c$, поменяв местами слагаемые в первом уравнении: $ \begin{cases} -2x + 3y = 10, \\ 7x + 5y = 27. \end{cases} $

Чтобы исключить переменную $x$, умножим первое уравнение на 7, а второе на 2. Это позволит получить коэффициенты при $x$, которые являются противоположными числами ($-14$ и $14$). $ \begin{cases} 7 \cdot (-2x + 3y) = 7 \cdot 10, \\ 2 \cdot (7x + 5y) = 2 \cdot 27. \end{cases} $

В результате получаем новую систему: $ \begin{cases} -14x + 21y = 70, \\ 14x + 10y = 54. \end{cases} $

Теперь сложим два уравнения системы почленно: $(-14x + 21y) + (14x + 10y) = 70 + 54$
$(-14x + 14x) + (21y + 10y) = 124$
$31y = 124$

Найдем $y$: $y = \frac{124}{31}$
$y = 4$

Подставим найденное значение $y=4$ в любое из исходных уравнений, например, в первое: $3y - 2x = 10$. $3 \cdot 4 - 2x = 10$
$12 - 2x = 10$
$-2x = 10 - 12$
$-2x = -2$
$x = 1$

Решением системы является пара чисел $(1; 4)$.

Ответ: $x = 1, y = 4$.

б)

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 0,4x - 0,2y = 0,4, \\ x + 11y = 12,5. \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из второго уравнения легко выразить переменную $x$: $x = 12,5 - 11y$

Теперь подставим это выражение вместо $x$ в первое уравнение системы: $0,4(12,5 - 11y) - 0,2y = 0,4$

Для удобства вычислений, можно умножить обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей: $10 \cdot (0,4(12,5 - 11y) - 0,2y) = 10 \cdot 0,4$
$4(12,5 - 11y) - 2y = 4$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$: $4 \cdot 12,5 - 4 \cdot 11y - 2y = 4$
$50 - 44y - 2y = 4$
$50 - 46y = 4$
$-46y = 4 - 50$
$-46y = -46$
$y = 1$

Теперь, зная значение $y$, найдем соответствующее значение $x$, подставив $y=1$ в выражение для $x$: $x = 12,5 - 11y$
$x = 12,5 - 11 \cdot 1$
$x = 12,5 - 11$
$x = 1,5$

Решением системы является пара чисел $(1,5; 1)$.

Ответ: $x = 1,5, y = 1$.

75. Решите уравнение:

а) Дано уравнение $5\sqrt{x} = 1$.
Первым шагом определим Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Так как под знаком квадратного корня может находиться только неотрицательное число, должно выполняться условие:
$x \ge 0$.
Теперь решим само уравнение. Чтобы выделить радикал, разделим обе части уравнения на 5:
$\sqrt{x} = \frac{1}{5}$
Чтобы избавиться от знака корня, возведем обе части полученного уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = (\frac{1}{5})^2$
$x = \frac{1^2}{5^2}$
$x = \frac{1}{25}$
Проверим, соответствует ли найденный корень ОДЗ. Условие $x \ge 0$ выполняется, так как $\frac{1}{25} > 0$. Следовательно, корень найден верно.
Ответ: $\frac{1}{25}$

б) Дано уравнение $\sqrt{x-4} = 15$.
Определим Область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x - 4 \ge 0$
$x \ge 4$
Теперь приступим к решению. Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы устранить радикал:
$(\sqrt{x-4})^2 = 15^2$
$x - 4 = 225$
Чтобы найти $x$, перенесем -4 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:
$x = 225 + 4$
$x = 229$
Проверим, удовлетворяет ли найденное значение ОДЗ. Условие $x \ge 4$ выполняется, так как $229 > 4$. Значит, решение является верным.
Ответ: 229

1. Что такое нанометр и зептосекунда?

Нанометр

Нанометр (обозначение: нм) — это дольная единица измерения длины в Международной системе единиц (СИ). Приставка «нано» (от греческого слова ?????, что означает «карлик») указывает на множитель $10^{-9}$. Таким образом, один нанометр равен одной миллиардной части метра.

Математически это записывается так: $1 \text{ нм} = 0,000000001 \text{ м} = 10^{-9} \text{ м}$.

Нанометры используются для измерения объектов на атомном и молекулярном уровне. Эта единица измерения является фундаментальной в таких областях, как нанотехнологии, физика, химия и биология. Для представления масштаба можно привести несколько примеров:

- Диаметр атома гелия — около 0,06 нм.

- Толщина двойной спирали ДНК — около 2,5 нм.

- Размер типичного вируса — от 20 до 300 нм.

- Толщина человеческого волоса — примерно 80 000–100 000 нм.

Ответ: Нанометр (нм) — это дольная единица измерения длины в Международной системе единиц (СИ), равная одной миллиардной части метра ($10^{-9}$ м). Используется для измерения объектов на атомном и молекулярном уровне.

Зептосекунда

Зептосекунда (обозначение: зс) — это дольная единица измерения времени в системе СИ. Приставка «зепто» означает множитель $10^{-21}$. Следовательно, одна зептосекунда — это одна секстиллионная (одна тысячная триллионной) часть секунды.

Математическое выражение: $1 \text{ зс} = 10^{-21} \text{ с}$.

Это чрезвычайно малый промежуток времени, который используется в физике для описания сверхбыстрых процессов на субатомном уровне. Например, с помощью зептосекунд измеряют время жизни некоторых нестабильных элементарных частиц или время, необходимое свету для прохождения расстояния, сопоставимого с размером атомного ядра.

Одним из значительных достижений современной экспериментальной физики стало измерение времени, за которое фотон света пересекает молекулу водорода. Этот процесс занял 247 зептосекунд, что является самым коротким промежутком времени, когда-либо измеренным человеком напрямую.

Ответ: Зептосекунда (зс) — это дольная единица измерения времени в СИ, равная одной секстиллионной части секунды ($10^{-21}$ с). Это один из самых коротких измеряемых промежутков времени, используемый для описания сверхбыстрых процессов в атомной и ядерной физике.

2. Составьте сами практико-ориентированную задачу.

Семья Ивановых решила сделать ремонт в ванной комнате и заменить напольное покрытие на плитку. Размеры ванной комнаты: длина 3 метра, ширина 2,5 метра. Для ремонта была выбрана квадратная плитка размером 50 см ? 50 см. Плитка продается в упаковках по 6 штук, стоимость одной упаковки — 1200 рублей. Для затирки швов требуется специальная смесь, одного мешка которой хватает на 5 м?, стоимость одного мешка — 350 рублей. Стоимость работы мастера по укладке плитки составляет 800 рублей за квадратный метр. Специалисты рекомендуют покупать плитку с запасом в 10% на случай брака или подрезки.

а) Рассчитайте площадь пола в ванной комнате.

Для нахождения площади прямоугольного помещения необходимо умножить его длину на ширину. Длина ванной комнаты — 3 м, ширина — 2,5 м.Площадь пола $S$ рассчитывается по формуле: $S = a \times b$, где $a$ – длина, $b$ – ширина.$S = 3 \text{ м} \times 2,5 \text{ м} = 7,5 \text{ м}^2$.

Ответ: 7,5 м?.

б) Сколько упаковок плитки необходимо купить с учетом 10% запаса?

Сначала найдем площадь одной плитки. Размер плитки 50 см ? 50 см, что в метрах составляет 0,5 м ? 0,5 м.Площадь одной плитки: $S_{плитки} = 0,5 \text{ м} \times 0,5 \text{ м} = 0,25 \text{ м}^2$.Теперь рассчитаем, сколько плиток потребуется для покрытия всей площади пола:$N_{плиток} = \frac{S_{пола}}{S_{плитки}} = \frac{7,5 \text{ м}^2}{0,25 \text{ м}^2} = 30$ штук.Необходимо учесть 10% запас:$Запас = 30 \times 0,10 = 3$ плитки.Общее количество плиток с запасом: $30 + 3 = 33$ плитки.Плитка продается в упаковках по 6 штук. Чтобы найти количество упаковок, разделим общее количество плиток на количество в одной упаковке:$N_{упаковок} = \frac{33}{6} = 5,5$.Так как купить половину упаковки нельзя, округляем результат в большую сторону до целого числа. Таким образом, необходимо купить 6 упаковок.

Ответ: 6 упаковок.

в) Какова будет общая стоимость материалов (плитки и затирки)?

Рассчитаем стоимость плитки. Мы покупаем 6 упаковок по 1200 рублей за каждую:$Стоимость_{плитки} = 6 \times 1200 = 7200$ рублей.Теперь рассчитаем стоимость затирки. Площадь пола 7,5 м?, а одного мешка затирки хватает на 5 м?.Количество мешков затирки: $\frac{7,5}{5} = 1,5$. Округляем в большую сторону до 2 мешков.Стоимость затирки: $2 \times 350 = 700$ рублей.Общая стоимость материалов:$Стоимость_{материалов} = Стоимость_{плитки} + Стоимость_{затирки} = 7200 + 700 = 7900$ рублей.

Ответ: 7900 рублей.

г) Рассчитайте общую стоимость ремонта пола, включая работу мастера.

Стоимость работы мастера составляет 800 рублей за 1 м?. Площадь пола — 7,5 м?.$Стоимость_{работы} = 7,5 \text{ м}^2 \times 800 \text{ руб/м}^2 = 6000$ рублей.Общая стоимость ремонта складывается из стоимости материалов и стоимости работы:$Общая_{стоимость} = Стоимость_{материалов} + Стоимость_{работы} = 7900 + 6000 = 13900$ рублей.

Ответ: 13900 рублей.