Страница 30 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

88. Найдите значение выражения:

а)

Дано выражение $61a - 11b + 50$ и условие $\frac{2a - 7b + 5}{7a - 2b + 5} = 9$.

Преобразуем данное равенство. Умножим обе части уравнения на знаменатель дроби $(7a - 2b + 5)$, предполагая, что он не равен нулю.

$2a - 7b + 5 = 9(7a - 2b + 5)$

Раскроем скобки в правой части:

$2a - 7b + 5 = 63a - 18b + 45$

Сгруппируем слагаемые с переменными в одной части уравнения, а константы — в другой. Перенесем $2a$ и $-7b$ вправо, а $45$ влево:

$5 - 45 = 63a - 2a - 18b + 7b$

Упростим обе части:

$-40 = 61a - 11b$

Мы получили значение выражения $61a - 11b$. Теперь подставим это значение в исходное выражение, которое нужно найти:

$61a - 11b + 50 = (-40) + 50 = 10$

Ответ: 10

б)

Дано выражение $\frac{a + 9b + 16}{a + 3b + 8}$ и условие $\frac{a}{b} = 3$.

Из условия $\frac{a}{b} = 3$ выразим $a$ через $b$ (при $b \neq 0$):

$a = 3b$

Подставим это выражение для $a$ в исходную дробь:

$\frac{(3b) + 9b + 16}{(3b) + 3b + 8}$

Упростим числитель и знаменатель:

$\frac{12b + 16}{6b + 8}$

Вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе:

$\frac{4(3b + 4)}{2(3b + 4)}$

Сократим дробь на общий множитель $(3b + 4)$:

$\frac{4}{2} = 2$

Ответ: 2

в)

Дано выражение $30a - 10b - 13$ и условие $\frac{3a - 7b + 4}{7a - 3b + 4} = 9$.

Преобразуем данное равенство, умножив обе части на знаменатель $(7a - 3b + 4)$:

$3a - 7b + 4 = 9(7a - 3b + 4)$

Раскроем скобки:

$3a - 7b + 4 = 63a - 27b + 36$

Сгруппируем слагаемые с переменными в одной части, а константы — в другой:

$4 - 36 = 63a - 3a - 27b + 7b$

Упростим обе части:

$-32 = 60a - 20b$

Заметим, что искомое выражение $30a - 10b - 13$ содержит часть $30a - 10b$. Выразим ее из полученного равенства. Для этого разделим обе части равенства $-32 = 60a - 20b$ на 2:

$\frac{-32}{2} = \frac{60a - 20b}{2}$

$-16 = 30a - 10b$

Теперь подставим найденное значение в исходное выражение:

$30a - 10b - 13 = (-16) - 13 = -29$

Ответ: -29

г)

Дано выражение $\frac{a + 11b + 51}{a + b + 17}$ и условие $\frac{a}{b} = 4$.

Из условия $\frac{a}{b} = 4$ выразим $a$ через $b$ (при $b \neq 0$):

$a = 4b$

Подставим это выражение для $a$ в исходную дробь:

$\frac{(4b) + 11b + 51}{(4b) + b + 17}$

Упростим числитель и знаменатель:

$\frac{15b + 51}{5b + 17}$

Вынесем общий множитель 3 за скобки в числителе:

$\frac{3(5b + 17)}{5b + 17}$

Сократим дробь на общий множитель $(5b + 17)$:

$3$

Ответ: 3

89. Выясните, какое из равенств |x| = x или |x| = –x является верным, если:

Чтобы выяснить, какое из равенств является верным, нужно определить знак числа $x$. По определению модуля (абсолютной величины): если $x \ge 0$, то $|x| = x$; если $x < 0$, то $|x| = -x$.

а) Рассмотрим выражение $x = 7 - 2\sqrt{15}$. Чтобы определить его знак, сравним числа $7$ и $2\sqrt{15}$. Поскольку оба числа положительные, мы можем сравнить их квадраты.
$7^2 = 49$.
$(2\sqrt{15})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{15})^2 = 4 \cdot 15 = 60$.
Так как $49 < 60$, то $7^2 < (2\sqrt{15})^2$, и, следовательно, $7 < 2\sqrt{15}$.
Это означает, что разность $7 - 2\sqrt{15}$ отрицательна, то есть $x < 0$.
Для отрицательного $x$ верным является равенство $|x| = -x$.
Ответ: $|x| = -x$.

б) Рассмотрим выражение $x = 2\sqrt{13} - 7$. Чтобы определить его знак, сравним числа $2\sqrt{13}$ и $7$. Возведем оба положительных числа в квадрат.
$(2\sqrt{13})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{13})^2 = 4 \cdot 13 = 52$.
$7^2 = 49$.
Так как $52 > 49$, то $(2\sqrt{13})^2 > 7^2$, и, следовательно, $2\sqrt{13} > 7$.
Это означает, что разность $2\sqrt{13} - 7$ положительна, то есть $x > 0$.
Для положительного $x$ верным является равенство $|x| = x$.
Ответ: $|x| = x$.

90. Выясните, каким числом (рациональным или иррациональным) является значение выражения:

а) Чтобы выяснить, каким числом является значение выражения $(\sqrt{2}+\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{2}-\sqrt{3})$, применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a = \sqrt{2}$ и $b = \sqrt{3}$.

Получаем: $(\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2 - 3 = -1$.

Число -1 является целым, а значит, и рациональным числом.

Ответ: рациональное число.

б) Раскроем скобки в выражении $(\sqrt{2}+2\sqrt{3}) \cdot (\sqrt{2}-\sqrt{3})$ по правилу умножения многочленов (FOIL):

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} + 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} - 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 2 - \sqrt{6} + 2\sqrt{6} - 2 \cdot 3 = 2 + \sqrt{6} - 6 = -4 + \sqrt{6}$.

Так как $\sqrt{6}$ является иррациональным числом, то сумма рационального числа (-4) и иррационального числа ($\sqrt{6}$) также является иррациональным числом.

Ответ: иррациональное число.

в) Чтобы упростить выражение $\frac{1}{2+\sqrt{3}} + \frac{1}{2-\sqrt{3}}$, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен $(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})$.

$\frac{1 \cdot (2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} + \frac{1 \cdot (2+\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \frac{2-\sqrt{3} + 2+\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4}{4-3} = \frac{4}{1} = 4$.

Число 4 является целым, а значит, и рациональным числом.

Ответ: рациональное число.

г) Для выражения $\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$ приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})$.

$\frac{1 \cdot (\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} - \frac{1 \cdot (\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2}) - (\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3-2} = \frac{2\sqrt{2}}{1} = 2\sqrt{2}$.

Произведение рационального числа 2 и иррационального числа $\sqrt{2}$ является иррациональным числом.

Ответ: иррациональное число.

д) Чтобы упростить дробь $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$, избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение, то есть на $\sqrt{3}+\sqrt{2}$.

$\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})} \cdot \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^2}{3-2} = \frac{3 + 2\sqrt{6} + 2}{1} = 5 + 2\sqrt{6}$.

Сумма рационального числа 5 и иррационального числа $2\sqrt{6}$ является иррациональным числом.

Ответ: иррациональное число.

е) Чтобы упростить выражение $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$, приведем дроби к общему знаменателю $(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})$.

$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{5}+\sqrt{2}) + \sqrt{5}(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{2})} = \frac{5 + \sqrt{10} + 5 - \sqrt{10}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{10}{5-2} = \frac{10}{3}$.

Число $\frac{10}{3}$ является отношением двух целых чисел, то есть рациональным числом.

Ответ: рациональное число.

91. Найдите три первых десятичных приближения (с недостатком и избытком) каждого из чисел:

(Задания д) и е) рекомендуется выполнять с помощью калькулятора.)

а) Для числа $\frac{13}{7}$.

Сначала преобразуем обыкновенную дробь в десятичную, выполнив деление: $\frac{13}{7} = 1,857142...$.

Найдем три последовательных десятичных приближения с недостатком (меньшее) и с избытком (большее).

Первое приближение (с точностью до целых):

Так как $1 < 1,857... < 2$, то приближение с недостатком равно 1, а с избытком — 2.

Второе приближение (с точностью до десятых):

Так как $1,8 < 1,857... < 1,9$, то приближение с недостатком равно 1,8, а с избытком — 1,9.

Третье приближение (с точностью до сотых):

Так как $1,85 < 1,857... < 1,86$, то приближение с недостатком равно 1,85, а с избытком — 1,86.

Ответ: приближения с недостатком: 1; 1,8; 1,85; приближения с избытком: 2; 1,9; 1,86.

б) Для числа $-\frac{13}{7}$.

Это число является противоположным числу из пункта а). Его десятичное представление: $-\frac{13}{7} = -1,857142...$.

Для отрицательных чисел приближение с недостатком — это ближайшее число (с нужным числом знаков), которое меньше исходного, а с избытком — то, которое больше.

Первое приближение (с точностью до целых):

Так как $-2 < -1,857... < -1$, то приближение с недостатком равно -2, а с избытком — -1.

Второе приближение (с точностью до десятых):

Так как $-1,9 < -1,857... < -1,8$, то приближение с недостатком равно -1,9, а с избытком — -1,8.

Третье приближение (с точностью до сотых):

Так как $-1,86 < -1,857... < -1,85$, то приближение с недостатком равно -1,86, а с избытком — -1,85.

Ответ: приближения с недостатком: -2; -1,9; -1,86; приближения с избытком: -1; -1,8; -1,85.

в) Для числа $\frac{5}{16}$.

Преобразуем дробь в десятичную: $\frac{5}{16} = 0,3125$. Это конечная десятичная дробь.

Первое приближение (с точностью до целых):

Так как $0 < 0,3125 < 1$, то приближение с недостатком равно 0, а с избытком — 1.

Второе приближение (с точностью до десятых):

Так как $0,3 < 0,3125 < 0,4$, то приближение с недостатком равно 0,3, а с избытком — 0,4.

Третье приближение (с точностью до сотых):

Так как $0,31 < 0,3125 < 0,32$, то приближение с недостатком равно 0,31, а с избытком — 0,32.

Ответ: приближения с недостатком: 0; 0,3; 0,31; приближения с избытком: 1; 0,4; 0,32.

г) Для числа $-\frac{5}{16}$.

Это число является противоположным числу из пункта в): $-\frac{5}{16} = -0,3125$.

Первое приближение (с точностью до целых):

Так как $-1 < -0,3125 < 0$, то приближение с недостатком равно -1, а с избытком — 0.

Второе приближение (с точностью до десятых):

Так как $-0,4 < -0,3125 < -0,3$, то приближение с недостатком равно -0,4, а с избытком — -0,3.

Третье приближение (с точностью до сотых):

Так как $-0,32 < -0,3125 < -0,31$, то приближение с недостатком равно -0,32, а с избытком — -0,31.

Ответ: приближения с недостатком: -1; -0,4; -0,32; приближения с избытком: 0; -0,3; -0,31.

д) Для числа $\sqrt{3}$.

Воспользуемся калькулятором для нахождения значения $\sqrt{3} \approx 1,73205...$.

Первое приближение (с точностью до целых):

Так как $1 < \sqrt{3} < 2$, то приближение с недостатком равно 1, а с избытком — 2.

Второе приближение (с точностью до десятых):

Так как $1,7 < \sqrt{3} < 1,8$, то приближение с недостатком равно 1,7, а с избытком — 1,8.

Третье приближение (с точностью до сотых):

Так как $1,73 < \sqrt{3} < 1,74$, то приближение с недостатком равно 1,73, а с избытком — 1,74.

Ответ: приближения с недостатком: 1; 1,7; 1,73; приближения с избытком: 2; 1,8; 1,74.

е) Для числа $-\sqrt{3}$.

Это число является противоположным числу из пункта д): $-\sqrt{3} \approx -1,73205...$.

Первое приближение (с точностью до целых):

Так как $-2 < -\sqrt{3} < -1$, то приближение с недостатком равно -2, а с избытком — -1.

Второе приближение (с точностью до десятых):

Так как $-1,8 < -\sqrt{3} < -1,7$, то приближение с недостатком равно -1,8, а с избытком — -1,7.

Третье приближение (с точностью до сотых):

Так как $-1,74 < -\sqrt{3} < -1,73$, то приближение с недостатком равно -1,74, а с избытком — -1,73.

Ответ: приближения с недостатком: -2; -1,8; -1,74; приближения с избытком: -1; -1,7; -1,73.

92. Используя равенства 2 = 1,414…, 3 = 1,732…, 5 = 2,236… и 7 = 2,645…, вычислите приближённое значение данного выражения с точностью до одной десятой; до одной сотой:

а)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{5} + \sqrt{7}$ подставим приближенные значения $\sqrt{5} \approx 2,236$ и $\sqrt{7} \approx 2,645$.

$\sqrt{5} + \sqrt{7} \approx 2,236 + 2,645 = 4,881$.

Округляем полученный результат до одной десятой: $4,881 \approx 4,9$.

Округляем полученный результат до одной сотой: $4,881 \approx 4,88$.

Ответ: с точностью до одной десятой: $4,9$; с точностью до одной сотой: $4,88$.

б)

Для вычисления значения выражения $\frac{4}{11} - \sqrt{8}$ сначала упростим $\sqrt{8}$ и переведем дробь в десятичный вид.

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$. Используя $\sqrt{2} \approx 1,414$, получаем $2\sqrt{2} \approx 2 \cdot 1,414 = 2,828$.

Дробь $\frac{4}{11}$ равна $4 : 11 \approx 0,3636...$.

Теперь выполним вычитание: $\frac{4}{11} - \sqrt{8} \approx 0,3636 - 2,828 = -2,4644$.

Округляем полученный результат до одной десятой: $-2,4644 \approx -2,5$.

Округляем полученный результат до одной сотой: $-2,4644 \approx -2,46$.

Ответ: с точностью до одной десятой: $-2,5$; с точностью до одной сотой: $-2,46$.

в)

Для вычисления значения выражения $\frac{11}{9} \cdot (-\sqrt{5})$ подставим приближенное значение $\sqrt{5} \approx 2,236$.

$\frac{11}{9} \cdot (-\sqrt{5}) \approx \frac{11}{9} \cdot (-2,236) = -\frac{11 \cdot 2,236}{9} = -\frac{24,596}{9} \approx -2,7328...$

Округляем полученный результат до одной десятой: $-2,7328... \approx -2,7$.

Округляем полученный результат до одной сотой: $-2,7328... \approx -2,73$.

Ответ: с точностью до одной десятой: $-2,7$; с точностью до одной сотой: $-2,73$.

г)

Для вычисления значения выражения $\sqrt{2} - \frac{5}{8}$ подставим приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1,414$ и переведем дробь $\frac{5}{8}$ в десятичную.

$\frac{5}{8} = 5 : 8 = 0,625$.

$\sqrt{2} - \frac{5}{8} \approx 1,414 - 0,625 = 0,789$.

Округляем полученный результат до одной десятой: $0,789 \approx 0,8$.

Округляем полученный результат до одной сотой: $0,789 \approx 0,79$.

Ответ: с точностью до одной десятой: $0,8$; с точностью до одной сотой: $0,79$.

д)

Для вычисления значения выражения $\frac{3}{16} : \sqrt{3}$ сначала упростим его, чтобы повысить точность вычислений.

$\frac{3}{16} : \sqrt{3} = \frac{3}{16 \cdot \sqrt{3}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{16 \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{16 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{16}$.

Теперь подставим приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1,732$.

$\frac{\sqrt{3}}{16} \approx \frac{1,732}{16} = 0,10825$.

Округляем полученный результат до одной десятой: $0,10825 \approx 0,1$.

Округляем полученный результат до одной сотой: $0,10825 \approx 0,11$.

Ответ: с точностью до одной десятой: $0,1$; с точностью до одной сотой: $0,11$.

93. Высота полёта стрелы меняется с течением времени по закону h (t) = –5t² + 45t + 2, где h — высота в метрах, t — время, прошедшее от начала полёта, в секундах. На какой высоте над землёй будет находиться стрела через 5 секунд от начала полёта; через 10 секунд от начала полёта?

Высота полета стрелы с течением времени задается уравнением $h(t) = -5t^2 + 45t + 2$, где $h$ — это высота в метрах, а $t$ — время в секундах, прошедшее с начала полета. Чтобы найти высоту в конкретные моменты времени, нужно подставить соответствующие значения времени в это уравнение.

через 5 секунд от начала полёта

Подставляем значение $t = 5$ в формулу:

$h(5) = -5 \cdot (5)^2 + 45 \cdot 5 + 2$

Выполняем расчеты:

$h(5) = -5 \cdot 25 + 225 + 2$

$h(5) = -125 + 225 + 2$

$h(5) = 100 + 2 = 102$ (метра)

Ответ: через 5 секунд от начала полёта стрела будет находиться на высоте 102 метра.

через 10 секунд от начала полёта

Подставляем значение $t = 10$ в формулу:

$h(10) = -5 \cdot (10)^2 + 45 \cdot 10 + 2$

Выполняем расчеты:

$h(10) = -5 \cdot 100 + 450 + 2$

$h(10) = -500 + 450 + 2$

$h(10) = -50 + 2 = -48$ (метров)

Отрицательное значение высоты означает, что к моменту времени $t=10$ секунд стрела уже упала на землю. Время полета до падения на землю (когда $h=0$) составляет примерно 9.04 секунды. Таким образом, по математической модели высота в 10 секунд равна -48 метров, что физически означает, что стрела уже некоторое время лежит на земле.

Ответ: через 10 секунд от начала полёта, согласно формуле, высота стрелы будет -48 метров.