Страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

107. Известно, что функция y = f (x), заданная на отрезке, симметричном относительно начала координат, является нечётной. На рисунке 15, а, б изображена только часть её графика. Достройте график этой функции, перечертив рисунок в тетрадь.

По условию, функция $y = f(x)$ является нечётной. Это означает, что её область определения симметрична относительно нуля, и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат. Это значит, что если точка с координатами $(x, y)$ принадлежит графику, то и точка с координатами $(-x, -y)$ также принадлежит этому графику. Чтобы достроить график, нужно для каждой точки данной части графика построить симметричную ей точку относительно начала координат (выполнить поворот на 180° вокруг точки (0,0)).

На рисунке показана часть графика для $x \in [-6, 0]$. Полная область определения функции — это симметричный отрезок $[-6, 6]$. Достроим недостающую часть графика на отрезке $[0, 6]$, используя свойство симметрии.

Для этого определим координаты ключевых точек (точек излома) на известной части графика и найдем их симметричные пары:

1. Исходная точка: $(-6, -3)$. Симметричная ей точка: $(-(-6), -(-3)) = (6, 3)$.

2. Исходная точка: $(-4, 4)$. Симметричная ей точка: $(-(-4), -(4)) = (4, -4)$.

3. Исходная точка: $(-2, -5)$. Симметричная ей точка: $(-(-2), -(-5)) = (2, 5)$.

4. Исходная точка: $(0, 0)$. Она симметрична сама себе, так как $(-0, -0) = (0, 0)$.

Теперь построим недостающую часть графика, соединив полученные точки отрезками в том же порядке: соединяем $(0, 0)$ с $(2, 5)$, затем $(2, 5)$ с $(4, -4)$ и, наконец, $(4, -4)$ с $(6, 3)$.

Ответ: Полный график функции является ломаной линией на отрезке $[-6, 6]$. К исходной части графика добавляется часть, последовательно соединяющая точки $(0, 0)$, $(2, 5)$, $(4, -4)$ и $(6, 3)$.

На рисунке б) изображены два несвязанных фрагмента. Если предположить, что оба они являются частями графика одной функции, то после построения симметричных им частей итоговая кривая не будет являться графиком функции. Это связано с тем, что для некоторых значений $x$ будет существовать более одного значения $y$, что противоречит определению функции. Следовательно, наиболее вероятно, что только один из фрагментов является частью искомого графика, а второй изображен ошибочно. Будем исходить из предположения, что верным является фрагмент, расположенный в правой полуплоскости ($x>0$).

Итак, нам дана часть графика на промежутке $[1, 3]$. Это кривая линия, соединяющая точки $(1, 0)$ и $(3, -2)$. Функция определена на симметричном отрезке, который, судя по точкам, является отрезком $[-3, 3]$.

1. Построим часть графика на промежутке $[-3, -1]$, симметричную данной. Для этого найдём симметричные точки для концов кривой:
- Точке $(1, 0)$ симметрична точка $(-1, 0)$.
- Точке $(3, -2)$ симметрична точка $(-3, 2)$.
Соединяем точки $(-3, 2)$ и $(-1, 0)$ кривой, являющейся центрально-симметричным отражением исходной.

2. Теперь определим, как выглядит график на отрезке $[-1, 1]$. Мы знаем, что $f(1) = 0$. Поскольку функция нечётная, должно выполняться $f(-1) = -f(1) = -0 = 0$. Также для нечётной функции, определённой в нуле, верно $f(0) = 0$. Самый простой способ соединить точки $(-1, 0)$, $(0, 0)$ и $(1, 0)$ — это провести отрезок прямой, который будет лежать на оси абсцисс. Этот отрезок (часть оси $x$ от -1 до 1) симметричен сам себе относительно начала координат.

Ответ: Полный график функции на отрезке $[-3, 3]$ состоит из трёх частей: 1) кривая линия от точки $(-3, 2)$ до точки $(-1, 0)$; 2) отрезок оси $x$ от точки $(-1, 0)$ до точки $(1, 0)$; 3) исходная кривая линия от точки $(1, 0)$ до точки $(3, -2)$.

108. Задайте формулой:

а) чётную функцию;

б) нечётную функцию;

в) функцию, которая не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ обоснуйте.

Для решения этой задачи необходимо вспомнить определения чётных и нечётных функций.

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения, которая должна быть симметрична относительно нуля, выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения, которая также должна быть симметрична относительно нуля, выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Если ни одно из этих условий не выполняется, функция называется функцией общего вида (не является ни чётной, ни нечётной).

а) чётную функцию

Зададим чётную функцию формулой $y = x^2$.

Обоснование:

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля. Проверим выполнение условия чётности $f(-x) = f(x)$. Пусть $f(x) = x^2$. Тогда $f(-x) = (-x)^2 = x^2$. Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция $y = x^2$ является чётной.

Другие примеры чётных функций: $y = \cos(x)$, $y = |x|$, $y = x^4 + 5$.

Ответ: $y = x^2$.

б) нечётную функцию

Зададим нечётную функцию формулой $y = x^3$.

Обоснование:

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля. Проверим выполнение условия нечётности $f(-x) = -f(x)$. Пусть $f(x) = x^3$. Тогда $f(-x) = (-x)^3 = -x^3$. Также, $-f(x) = -(x^3) = -x^3$. Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция $y = x^3$ является нечётной.

Другие примеры нечётных функций: $y = \sin(x)$, $y = \frac{1}{x}$, $y = x^5 - 2x$.

Ответ: $y = x^3$.

в) функцию, которая не является ни чётной, ни нечётной

Зададим такую функцию формулой $y = x + 1$.

Обоснование:

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля. Проверим, выполняются ли условия чётности или нечётности. Пусть $f(x) = x + 1$.

1. Проверка на чётность: $f(-x) = f(x)$?
$f(-x) = (-x) + 1 = -x + 1$.
Сравниваем $f(-x)$ и $f(x)$: $-x + 1 \neq x + 1$ (равенство не выполняется для всех $x$, кроме $x=0$). Следовательно, функция не является чётной.

2. Проверка на нечётность: $f(-x) = -f(x)$?
Мы уже нашли, что $f(-x) = -x + 1$.
Теперь найдем $-f(x) = -(x + 1) = -x - 1$.
Сравниваем $f(-x)$ и $-f(x)$: $-x + 1 \neq -x - 1$ (равенство не выполняется ни при каких значениях $x$). Следовательно, функция не является нечётной.

Поскольку функция не удовлетворяет ни условию чётности, ни условию нечётности, она является функцией общего вида.

Другие примеры таких функций: $y = x^2 + x$, $y = e^x$, $y = \sqrt{x+2}$.

Ответ: $y = x + 1$.

109. Найдите координаты точек пересечения графиков функций, не выполняя построений:

Чтобы найти координаты точек пересечения графиков функций, не выполняя построений, необходимо решить систему уравнений, задающих эти функции. В точке пересечения значения $x$ и $y$ для обеих функций одинаковы, поэтому можно приравнять выражения для $y$.

а) $y = 0,4x + 3$ и $y = 5 - 0,6x$

Приравниваем правые части уравнений, чтобы найти абсциссу ($x$) точки пересечения:

$0,4x + 3 = 5 - 0,6x$

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую:

$0,4x + 0,6x = 5 - 3$

$1x = 2$

$x = 2$

Теперь найдем ординату ($y$) точки пересечения, подставив найденное значение $x = 2$ в любое из исходных уравнений. Возьмем первое:

$y = 0,4 \cdot 2 + 3 = 0,8 + 3 = 3,8$

Таким образом, координаты точки пересечения — $(2; 3,8)$.

Ответ: $(2; 3,8)$.

б) $y = \frac{1}{3}x + 11$ и $y = -\frac{2}{9}x + 4$

Приравниваем правые части уравнений:

$\frac{1}{3}x + 11 = -\frac{2}{9}x + 4$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числовые — в правую:

$\frac{1}{3}x + \frac{2}{9}x = 4 - 11$

Приведем дроби с $x$ к общему знаменателю 9:

$\frac{3}{9}x + \frac{2}{9}x = -7$

$\frac{5}{9}x = -7$

Теперь найдем $x$:

$x = -7 : \frac{5}{9} = -7 \cdot \frac{9}{5} = -\frac{63}{5} = -12,6$

Найдем ординату ($y$), подставив $x = -12,6$ во второе уравнение:

$y = -\frac{2}{9} \cdot (-\frac{63}{5}) + 4 = \frac{2 \cdot 63}{9 \cdot 5} + 4 = \frac{2 \cdot 7}{5} + 4 = \frac{14}{5} + 4$

$y = 2,8 + 4 = 6,8$

Таким образом, координаты точки пересечения — $(-12,6; 6,8)$.

Ответ: $(-12,6; 6,8)$.

110. Решите уравнение:

а) $x^2 + 2x - 15 = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$. Для его решения найдем дискриминант. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=2$, $c=-15$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{64} = 8$.

Корни уравнения находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-2 - 8}{2 \cdot 1} = \frac{-10}{2} = -5$.

$x_2 = \frac{-2 + 8}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.

Ответ: $-5; 3$.

б) $2x^2 - x - 3 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=2$, $b=-1$, $c=-3$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{25} = 5$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-1) - 5}{2 \cdot 2} = \frac{1 - 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

$x_2 = \frac{-(-1) + 5}{2 \cdot 2} = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $-1; \frac{3}{2}$.

в) $3x^2 - 22x + 7 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=3$, $b=-22$, $c=7$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-22)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 7 = 484 - 84 = 400$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Корень из дискриминанта $\sqrt{D} = \sqrt{400} = 20$.

Найдем корни по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

$x_1 = \frac{-(-22) - 20}{2 \cdot 3} = \frac{22 - 20}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

$x_2 = \frac{-(-22) + 20}{2 \cdot 3} = \frac{22 + 20}{6} = \frac{42}{6} = 7$.

Ответ: $\frac{1}{3}; 7$.

г) $3x^2 + 6x + 10 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами $a=3$, $b=6$, $c=10$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$.

$D = 6^2 - 4 \cdot 3 \cdot 10 = 36 - 120 = -84$.

Так как дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: действительных корней нет.