Номер 108, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Свойства чётности и нечётности функций. Параграф 3. Функции и их свойства. Глава 2. Функции и графики - номер 108, страница 37.

Условие.

108. Задайте формулой:

а) чётную функцию;

б) нечётную функцию;

в) функцию, которая не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ обоснуйте.

Решение 1.

Решение 8.

Для решения этой задачи необходимо вспомнить определения чётных и нечётных функций.

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого $x$ из её области определения, которая должна быть симметрична относительно нуля, выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если для любого $x$ из её области определения, которая также должна быть симметрична относительно нуля, выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Если ни одно из этих условий не выполняется, функция называется функцией общего вида (не является ни чётной, ни нечётной).

а) чётную функцию

Зададим чётную функцию формулой $y = x^2$.

Обоснование:

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля. Проверим выполнение условия чётности $f(-x) = f(x)$. Пусть $f(x) = x^2$. Тогда $f(-x) = (-x)^2 = x^2$. Поскольку $f(-x) = f(x)$, функция $y = x^2$ является чётной.

Другие примеры чётных функций: $y = \cos(x)$, $y = |x|$, $y = x^4 + 5$.

Ответ: $y = x^2$.

б) нечётную функцию

Зададим нечётную функцию формулой $y = x^3$.

Обоснование:

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля. Проверим выполнение условия нечётности $f(-x) = -f(x)$. Пусть $f(x) = x^3$. Тогда $f(-x) = (-x)^3 = -x^3$. Также, $-f(x) = -(x^3) = -x^3$. Поскольку $f(-x) = -f(x)$, функция $y = x^3$ является нечётной.

Другие примеры нечётных функций: $y = \sin(x)$, $y = \frac{1}{x}$, $y = x^5 - 2x$.

Ответ: $y = x^3$.

в) функцию, которая не является ни чётной, ни нечётной

Зададим такую функцию формулой $y = x + 1$.

Обоснование:

Область определения функции $D(y) = (-\infty; +\infty)$, она симметрична относительно нуля. Проверим, выполняются ли условия чётности или нечётности. Пусть $f(x) = x + 1$.

1. Проверка на чётность: $f(-x) = f(x)$?
$f(-x) = (-x) + 1 = -x + 1$.
Сравниваем $f(-x)$ и $f(x)$: $-x + 1 \neq x + 1$ (равенство не выполняется для всех $x$, кроме $x=0$). Следовательно, функция не является чётной.

2. Проверка на нечётность: $f(-x) = -f(x)$?
Мы уже нашли, что $f(-x) = -x + 1$.
Теперь найдем $-f(x) = -(x + 1) = -x - 1$.
Сравниваем $f(-x)$ и $-f(x)$: $-x + 1 \neq -x - 1$ (равенство не выполняется ни при каких значениях $x$). Следовательно, функция не является нечётной.

Поскольку функция не удовлетворяет ни условию чётности, ни условию нечётности, она является функцией общего вида.

Другие примеры таких функций: $y = x^2 + x$, $y = e^x$, $y = \sqrt{x+2}$.

Ответ: $y = x + 1$.