Номер 104, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Свойства чётности и нечётности функций. Параграф 3. Функции и их свойства. Глава 2. Функции и графики - номер 104, страница 36.

Условие.

104. Докажите, что функция y = f (x) является нечётной, если:

Решение 1.

Решение 8.

Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если для неё выполняются два условия:

1. Область определения функции $D(f)$ симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения функции выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

а) $f(x) = x + \frac{1}{x}$

1. Найдём область определения функции. Выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме тех, где знаменатель равен нулю, то есть $x \neq 0$. Таким образом, область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Эта область является симметричной относительно начала координат, так как если $x$ принадлежит этой области, то и $-x$ ей принадлежит.

2. Проверим выполнение второго условия. Найдём значение функции для $-x$:
$f(-x) = (-x) + \frac{1}{(-x)} = -x - \frac{1}{x}$.
Теперь вынесем знак минус за скобки:
$f(-x) = -(x + \frac{1}{x})$.
Так как $f(x) = x + \frac{1}{x}$, то мы получили, что $f(-x) = -f(x)$.

Поскольку оба условия для нечётной функции выполняются, данная функция является нечётной.

Ответ: Функция $f(x) = x + \frac{1}{x}$ является нечётной, что и требовалось доказать.

б) $f(x) = 2x^3 - x$

1. Найдём область определения функции. Данная функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, или $D(f) = \mathbb{R}$. Эта область симметрична относительно начала координат.

2. Проверим выполнение второго условия. Найдём значение функции для $-x$:
$f(-x) = 2(-x)^3 - (-x) = 2(-x^3) + x = -2x^3 + x$.
Теперь вынесем знак минус за скобки:
$f(-x) = -(2x^3 - x)$.
Так как $f(x) = 2x^3 - x$, то мы получили, что $f(-x) = -f(x)$.

Поскольку оба условия для нечётной функции выполняются, данная функция является нечётной.

Ответ: Функция $f(x) = 2x^3 - x$ является нечётной, что и требовалось доказать.