Номер 102, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Свойства чётности и нечётности функций. Параграф 3. Функции и их свойства. Глава 2. Функции и графики - номер 102, страница 36.

Условие.

102. Найдите нули функции y = f (x), если:

Решение 1.

Решение 8.

а) Чтобы найти нули функции $y = \frac{|x| - 3}{|x + 3|}$, необходимо решить уравнение $y = 0$.

$\frac{|x| - 3}{|x + 3|} = 0$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно системе:

$\begin{cases} |x| - 3 = 0 \\ |x + 3| \neq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:
$|x| - 3 = 0$
$|x| = 3$
Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.

Теперь проверим выполнение второго условия для найденных корней.
Второе условие системы: $|x + 3| \neq 0$, что означает $x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.

Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет этому условию, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль, и функция в этой точке не определена. Поэтому $x = -3$ не является нулем функции.

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $x \neq -3$. Следовательно, это единственный нуль функции.

Ответ: 3

б) Чтобы найти нули функции $y = \frac{\sqrt{3 - 2x}}{x + 5}$, необходимо решить уравнение $y = 0$.

$\frac{\sqrt{3 - 2x}}{x + 5} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Также необходимо учесть область определения функции, а именно, что выражение под корнем должно быть неотрицательным. Получаем систему условий:

$\begin{cases} \sqrt{3 - 2x} = 0 \\ x + 5 \neq 0 \\ 3 - 2x \geq 0 \end{cases}$

Решим первое уравнение:
$\sqrt{3 - 2x} = 0$
Возведем обе части в квадрат:
$3 - 2x = 0$
$2x = 3$
$x = \frac{3}{2} = 1,5$

Теперь проверим, удовлетворяет ли найденный корень остальным условиям системы.

1. Проверка условия $x + 5 \neq 0$:
Подставим $x = 1,5$: $1,5 + 5 = 6,5$. Так как $6,5 \neq 0$, условие выполняется.

2. Проверка условия $3 - 2x \geq 0$ (область определения корня):
Подставим $x = 1,5$: $3 - 2 \cdot 1,5 = 3 - 3 = 0$. Так как $0 \geq 0$, условие выполняется.

Поскольку значение $x = 1,5$ удовлетворяет всем условиям, оно является нулем функции.

Ответ: 1,5