Номер 106, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Свойства чётности и нечётности функций. Параграф 3. Функции и их свойства. Глава 2. Функции и графики - номер 106, страница 36.

Условие.

106. Известно, что функция y = f (x), заданная на отрезке, симметричном относительно начала координат, является чётной. На рисунке 14, а, б изображена только часть её графика. Достройте график этой функции, перечертив рисунок в тетрадь.

Решение 1.

Решение 8.

По условию задачи, функция $y = f(x)$ является чётной. Главное свойство графика чётной функции заключается в его симметрии относительно оси ординат (оси OY). Это означает, что для любой точки $(x, y)$, лежащей на графике, точка $(-x, y)$ также будет лежать на этом графике. Математически это свойство записывается в виде равенства: $f(-x) = f(x)$ для всех $x$ из области определения функции.

Чтобы достроить графики, необходимо для каждой данной части построить её зеркальное отражение относительно оси OY.

а)

На рисунке дана часть графика для $x \in [-6, 0]$. Эта часть представляет собой ломаную линию. Для её симметричного отражения определим координаты её ключевых точек (концов и точки излома):

• Левый конец отрезка: $(-6, -4)$.
• Точка излома (локальный максимум): $(-4, 4)$.
• Правый конец отрезка, лежащий на оси OY: $(0, -4)$.

Теперь найдём точки, симметричные им относительно оси OY, для построения недостающей части графика на промежутке $x \in [0, 6]$:

• Точке $(-6, -4)$ будет соответствовать точка $(6, -4)$.
• Точке $(-4, 4)$ будет соответствовать точка $(4, 4)$.
• Точка $(0, -4)$ лежит на оси симметрии, поэтому она отображается сама в себя.

Соединяем полученные точки отрезками в той же последовательности: сначала соединяем $(0, -4)$ и $(4, 4)$, а затем $(4, 4)$ и $(6, -4)$. Объединив исходную и достроенную части, получаем полный график функции.

Ответ: Достроенная часть графика — это ломаная линия, последовательно соединяющая точки $(0, -4)$, $(4, 4)$ и $(6, -4)$.

б)

В этом случае на рисунке изображена часть графика для $x \in [0, 4]$. Это кривая линия. Мы также должны отразить её симметрично относительно оси OY, чтобы получить часть графика для $x \in [-4, 0]$.

Определим координаты конечных точек данной кривой:

• Начальная точка на оси OY: $(0, -5)$.
• Конечная точка: $(4, 3)$.

Найдём симметричные им точки:

• Точка $(0, -5)$ лежит на оси OY и остаётся на месте.
• Точке $(4, 3)$ будет соответствовать симметричная точка $(-4, 3)$.

Чтобы завершить построение, проводим кривую линию из точки $(0, -5)$ в точку $(-4, 3)$ так, чтобы она была зеркальным отражением исходной кривой. Например, если на исходном графике есть точка $(2, -2)$, то на достроенной части будет точка $(-2, -2)$. Полный график состоит из двух симметричных ветвей, которые соединяются в точке $(0, -5)$.

Ответ: Достроенная часть графика — это кривая линия, симметричная данной относительно оси OY, которая соединяет точки $(0, -5)$ и $(-4, 3)$.