Номер 101, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Свойства чётности и нечётности функций. Параграф 3. Функции и их свойства. Глава 2. Функции и графики - номер 101, страница 36.

Условие.

101. Найдите нули функции y = f (x), если:

Решение 1.

Решение 8.

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули функции $y = f(x)$, нужно решить уравнение $f(x) = 0$.

а) $y = 7x^2 - 6x - 1$

Приравняем функцию к нулю и решим полученное квадратное уравнение:

$7x^2 - 6x - 1 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-1) = 36 + 28 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 + 8}{14} = \frac{14}{14} = 1$

$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2 \cdot 7} = \frac{6 - 8}{14} = \frac{-2}{14} = -\frac{1}{7}$

Ответ: $1; -\frac{1}{7}$.

б) $y = \sqrt{7 - 14x}$

Сначала найдем область определения функции. Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$7 - 14x \ge 0$

$7 \ge 14x$

$x \le \frac{7}{14}$

$x \le \frac{1}{2}$

Теперь приравняем функцию к нулю:

$\sqrt{7 - 14x} = 0$

Возведем обе части уравнения в квадрат:

$7 - 14x = 0$

$14x = 7$

$x = \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$

Найденное значение $x = \frac{1}{2}$ принадлежит области определения функции. Следовательно, это и есть нуль функции.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) $y = \frac{2x + 3}{9 - 4x^2}$

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю. Сначала найдем область определения функции, исключив значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:

$9 - 4x^2 \ne 0$

$4x^2 \ne 9$

$x^2 \ne \frac{9}{4}$

$x \ne \pm \frac{3}{2}$

Теперь приравняем числитель к нулю:

$2x + 3 = 0$

$2x = -3$

$x = -\frac{3}{2}$

Полученное значение $x = -\frac{3}{2}$ не входит в область определения функции, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, у функции нет нулей.

Ответ: нулей нет.

г) $y = \frac{5x - 1}{x^2 + 16}$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Проверим знаменатель: $x^2 + 16$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2 + 16 \ge 16$. Значит, знаменатель никогда не равен нулю. Область определения функции — все действительные числа.

Приравняем числитель к нулю:

$5x - 1 = 0$

$5x = 1$

$x = \frac{1}{5}$

Это значение принадлежит области определения функции.

Ответ: $\frac{1}{5}$.