Номер 105, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Свойства чётности и нечётности функций. Параграф 3. Функции и их свойства. Глава 2. Функции и графики - номер 105, страница 36.

Условие.

105. Определите, является ли функция y = f (x) чётной или нечётной, если:

Решение 1.

Решение 8.

Для определения чётности или нечётности функции необходимо проверить, удовлетворяет ли она соответствующим условиям.
Функция $y = f(x)$ является чётной, если для любого $x$ из её области определения, которая должна быть симметрична относительно нуля, выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.
Функция $y = f(x)$ является нечётной, если для любого $x$ из её области определения, которая должна быть симметрична относительно нуля, выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.
Если ни одно из условий не выполняется, функция является ни чётной, ни нечётной (функцией общего вида).

а) $f(x) = \frac{5}{x}$

1. Находим область определения функции: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Находим значение функции от аргумента $-x$: $f(-x) = \frac{5}{-x} = -\frac{5}{x}$.
3. Сравниваем $f(-x)$ с $f(x)$ и $-f(x)$: $f(-x) = -\frac{5}{x}$ и $-f(x) = -(\frac{5}{x}) = -\frac{5}{x}$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

б) $f(x) = 5 - 3x^2$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Находим значение функции от аргумента $-x$: $f(-x) = 5 - 3(-x)^2 = 5 - 3x^2$.
3. Сравниваем $f(-x)$ с $f(x)$: $f(-x) = 5 - 3x^2$ и $f(x) = 5 - 3x^2$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.

в) $f(x) = x^3 - x$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Находим значение функции от аргумента $-x$: $f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x)$.
3. Сравниваем $f(-x)$ с $-f(x)$: $f(-x) = -(x^3 - x)$ и $-f(x) = -(x^3 - x)$.
Так как $f(-x) = -f(x)$, функция является нечётной.

Ответ: нечётная.

г) $f(x) = 1 - |x|$

1. Область определения функции: $D(f) = (-\infty; +\infty)$. Область определения симметрична относительно нуля.
2. Находим значение функции от аргумента $-x$, используя свойство модуля $|-a| = |a|$: $f(-x) = 1 - |-x| = 1 - |x|$.
3. Сравниваем $f(-x)$ с $f(x)$: $f(-x) = 1 - |x|$ и $f(x) = 1 - |x|$.
Так как $f(-x) = f(x)$, функция является чётной.

Ответ: чётная.