Номер 107, страница 37 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

7. Свойства чётности и нечётности функций. Параграф 3. Функции и их свойства. Глава 2. Функции и графики - номер 107, страница 37.

Условие.

107. Известно, что функция y = f (x), заданная на отрезке, симметричном относительно начала координат, является нечётной. На рисунке 15, а, б изображена только часть её графика. Достройте график этой функции, перечертив рисунок в тетрадь.

Решение 1.

Решение 8.

По условию, функция $y = f(x)$ является нечётной. Это означает, что её область определения симметрична относительно нуля, и для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. График нечётной функции симметричен относительно начала координат. Это значит, что если точка с координатами $(x, y)$ принадлежит графику, то и точка с координатами $(-x, -y)$ также принадлежит этому графику. Чтобы достроить график, нужно для каждой точки данной части графика построить симметричную ей точку относительно начала координат (выполнить поворот на 180° вокруг точки (0,0)).

a)

На рисунке показана часть графика для $x \in [-6, 0]$. Полная область определения функции — это симметричный отрезок $[-6, 6]$. Достроим недостающую часть графика на отрезке $[0, 6]$, используя свойство симметрии.

Для этого определим координаты ключевых точек (точек излома) на известной части графика и найдем их симметричные пары:

1. Исходная точка: $(-6, -3)$. Симметричная ей точка: $(-(-6), -(-3)) = (6, 3)$.

2. Исходная точка: $(-4, 4)$. Симметричная ей точка: $(-(-4), -(4)) = (4, -4)$.

3. Исходная точка: $(-2, -5)$. Симметричная ей точка: $(-(-2), -(-5)) = (2, 5)$.

4. Исходная точка: $(0, 0)$. Она симметрична сама себе, так как $(-0, -0) = (0, 0)$.

Теперь построим недостающую часть графика, соединив полученные точки отрезками в том же порядке: соединяем $(0, 0)$ с $(2, 5)$, затем $(2, 5)$ с $(4, -4)$ и, наконец, $(4, -4)$ с $(6, 3)$.

Ответ: Полный график функции является ломаной линией на отрезке $[-6, 6]$. К исходной части графика добавляется часть, последовательно соединяющая точки $(0, 0)$, $(2, 5)$, $(4, -4)$ и $(6, 3)$.

b)

На рисунке б) изображены два несвязанных фрагмента. Если предположить, что оба они являются частями графика одной функции, то после построения симметричных им частей итоговая кривая не будет являться графиком функции. Это связано с тем, что для некоторых значений $x$ будет существовать более одного значения $y$, что противоречит определению функции. Следовательно, наиболее вероятно, что только один из фрагментов является частью искомого графика, а второй изображен ошибочно. Будем исходить из предположения, что верным является фрагмент, расположенный в правой полуплоскости ($x>0$).

Итак, нам дана часть графика на промежутке $[1, 3]$. Это кривая линия, соединяющая точки $(1, 0)$ и $(3, -2)$. Функция определена на симметричном отрезке, который, судя по точкам, является отрезком $[-3, 3]$.

1. Построим часть графика на промежутке $[-3, -1]$, симметричную данной. Для этого найдём симметричные точки для концов кривой:
- Точке $(1, 0)$ симметрична точка $(-1, 0)$.
- Точке $(3, -2)$ симметрична точка $(-3, 2)$.
Соединяем точки $(-3, 2)$ и $(-1, 0)$ кривой, являющейся центрально-симметричным отражением исходной.

2. Теперь определим, как выглядит график на отрезке $[-1, 1]$. Мы знаем, что $f(1) = 0$. Поскольку функция нечётная, должно выполняться $f(-1) = -f(1) = -0 = 0$. Также для нечётной функции, определённой в нуле, верно $f(0) = 0$. Самый простой способ соединить точки $(-1, 0)$, $(0, 0)$ и $(1, 0)$ — это провести отрезок прямой, который будет лежать на оси абсцисс. Этот отрезок (часть оси $x$ от -1 до 1) симметричен сам себе относительно начала координат.

Ответ: Полный график функции на отрезке $[-3, 3]$ состоит из трёх частей: 1) кривая линия от точки $(-3, 2)$ до точки $(-1, 0)$; 2) отрезок оси $x$ от точки $(-1, 0)$ до точки $(1, 0)$; 3) исходная кривая линия от точки $(1, 0)$ до точки $(3, -2)$.