Номер 114, страница 41 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

8. Графики и свойства некоторых видов функций. Параграф 3. Функции и их свойства. Глава 2. Функции и графики - номер 114, страница 41.

Условие.

114. Постройте по точкам график функции и опишите её свойства:

Решение 1.

Решение 8.

а) $y = x^2 + 1$

1. Построение графика.
Графиком функции является парабола. Для ее построения составим таблицу значений, выбрав несколько удобных значений аргумента $x$ и вычислив соответствующие им значения функции $y$.

Если $x = 0$, то $y = 0^2 + 1 = 1$.
Если $x = 1$, то $y = 1^2 + 1 = 2$.
Если $x = -1$, то $y = (-1)^2 + 1 = 2$.
Если $x = 2$, то $y = 2^2 + 1 = 5$.
Если $x = -2$, то $y = (-2)^2 + 1 = 5$.

Таким образом, мы получили точки: $(-2; 5)$, $(-1; 2)$, $(0; 1)$, $(1; 2)$, $(2; 5)$.
Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой. Полученный график — парабола, которая является графиком функции $y=x^2$, смещенным на 1 единицу вверх вдоль оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0; 1)$, а ее ветви направлены вверх.

2. Свойства функции.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция определена для любых действительных значений $x$.
• Область значений: $E(y) = [1; +\infty)$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого $x$, то наименьшее значение функции равно $0^2 + 1 = 1$.
• Четность: функция является четной, так как для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1 = y(x)$. График функции симметричен относительно оси ординат ($Oy$).
• Нули функции: уравнение $x^2 + 1 = 0$ не имеет действительных корней ($x^2 = -1$), поэтому график функции не пересекает ось абсцисс ($Ox$).
• Промежутки знакопостоянства: так как наименьшее значение функции равно 1, то $y > 0$ на всей области определения, то есть при $x \in (-\infty; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего минимума, $y_{min} = 1$. Точка минимума — $(0; 1)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(0; 1)$, ветви которой направлены вверх. Основные свойства: область определения — все действительные числа; область значений — $[1; +\infty)$; функция четная; нулей нет, функция положительна на всей области определения; убывает при $x \in (-\infty; 0]$ и возрастает при $x \in [0; +\infty)$; точка минимума $(0; 1)$.

б) $y = -x^2 + 4$

1. Построение графика.
Графиком функции является парабола. Составим таблицу значений для построения.

Если $x = 0$, то $y = -0^2 + 4 = 4$.
Если $x = 1$, то $y = -1^2 + 4 = 3$.
Если $x = -1$, то $y = -(-1)^2 + 4 = 3$.
Если $x = 2$, то $y = -2^2 + 4 = 0$.
Если $x = -2$, то $y = -(-2)^2 + 4 = 0$.

Мы получили точки: $(-2; 0)$, $(-1; 3)$, $(0; 4)$, $(1; 3)$, $(2; 0)$.
Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной линией. График — парабола, которая является графиком функции $y=-x^2$, смещенным на 4 единицы вверх вдоль оси $Oy$. Вершина параболы находится в точке $(0; 4)$, а ее ветви направлены вниз.

2. Свойства функции.

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция определена для любых действительных значений $x$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 4]$. Поскольку $-x^2 \le 0$ для любого $x$, то наибольшее значение функции равно $-0^2 + 4 = 4$.
• Четность: функция является четной, так как $y(-x) = -(-x)^2 + 4 = -x^2 + 4 = y(x)$. График функции симметричен относительно оси $Oy$.
• Нули функции: решим уравнение $-x^2 + 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 2$. Точки пересечения с осью $Ox$: $(-2; 0)$ и $(2; 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: функция положительна ($y>0$) на интервале $(-2; 2)$; функция отрицательна ($y<0$) на интервалах $(-\infty; -2) \cup (2; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего максимума, $y_{max} = 4$. Точка максимума — $(0; 4)$.

Ответ: График функции — парабола с вершиной в точке $(0; 4)$, ветви которой направлены вниз. Основные свойства: область определения — все действительные числа; область значений — $(-\infty; 4]$; функция четная; нули функции при $x = -2$ и $x = 2$; $y>0$ при $x \in (-2; 2)$; возрастает при $x \in (-\infty; 0]$ и убывает при $x \in [0; +\infty)$; точка максимума $(0; 4)$.