Номер 2, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

Контрольные вопросы и задания. Параграф 3. Функции и их свойства. Глава 2. Функции и графики - номер 2, страница 43.

Условие.

2. Сформулируйте определения чётной функции, нечётной функции. Приведите примеры чётной функции, нечётной функции. Может ли функция не обладать ни свойством чётности, ни свойством нечётности?

Решение 1.

Решение 8.

Определение чётной функции

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого значения $x$ из её области определения $D(f)$ выполняются два условия:

1. Область определения функции симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Ответ: Функция $y = f(x)$ называется чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Определение нечётной функции

Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если для любого значения $x$ из её области определения $D(f)$ выполняются два условия:

1. Область определения функции симметрична относительно начала координат.
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

График нечётной функции симметричен относительно начала координат (точки (0;0)).

Ответ: Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Примеры чётной функции

1. Степенная функция с чётным показателем: $y = x^2, y = x^4, y = x^6, \dots$.
Например, для $y = x^2$: область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Проверка: $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. Условие выполняется, функция чётная.

2. Функция $y = \cos(x)$.
Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична.
Проверка: $f(-x) = \cos(-x) = \cos(x) = f(x)$. Условие выполняется, функция чётная.

3. Функция модуля $y = |x|$.
Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична.
Проверка: $f(-x) = |-x| = |x| = f(x)$. Условие выполняется, функция чётная.

Ответ: Примеры чётных функций: $y = x^2$, $y = \cos(x)$, $y = |x|$.

Примеры нечётной функции

1. Степенная функция с нечётным показателем: $y = x, y = x^3, y = x^5, \dots$.
Например, для $y = x^3$: область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична.
Проверка: $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$. Условие выполняется, функция нечётная.

2. Функции $y = \sin(x)$, $y = \tan(x)$, $y = \cot(x)$.
Например, для $y = \sin(x)$: область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична.
Проверка: $f(-x) = \sin(-x) = -\sin(x) = -f(x)$. Условие выполняется, функция нечётная.

3. Функция $y = 1/x$.
Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична.
Проверка: $f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)$. Условие выполняется, функция нечётная.

Ответ: Примеры нечётных функций: $y = x^3$, $y = \sin(x)$, $y = 1/x$.

Может ли функция не обладать ни свойством чётности, ни свойством нечётности?

Да, может. Такие функции называются функциями общего вида. Большинство функций не являются ни чёткими, ни нечёткими. Это может произойти по двум причинам:

1. Несимметричная область определения. Для проверки на чётность/нечётность необходимо, чтобы область определения была симметрична. Если это не так, функция не может быть ни чётной, ни нечётной. Например, функция $y = \sqrt{x}$. Её область определения $D(f) = [0; +\infty)$ несимметрична.
2. Невыполнение условий чётности/нечётности при симметричной области определения. Область определения может быть симметричной, но при этом ни равенство $f(-x) = f(x)$, ни равенство $f(-x) = -f(x)$ не выполняются для всех $x$ из области определения.
   Например, рассмотрим функцию $y = x + 1$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична.
   Проверим на чётность: $f(-x) = (-x) + 1 = -x + 1$. Так как $-x + 1 \neq x + 1$, то $f(-x) \neq f(x)$.
   Проверим на нечётность: $-f(x) = -(x + 1) = -x - 1$. Так как $-x + 1 \neq -x - 1$, то $f(-x) \neq -f(x)$.
   Следовательно, функция $y = x + 1$ не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: Да, функция может не быть ни чётной, ни нечётной. Такие функции называются функциями общего вида. Примером является $y=x+1$ или любая функция с несимметричной областью определения, например $y = \ln(x)$ (область определения $(0; +\infty)$).