Номер 120, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Функция у = ах, её график и свойства. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 120, страница 48.

Условие.

120. Постройте в одной системе координат графики функций

Сравните значения этих функций при х = 0,5, х = 1 и х = 2.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Построение графиков функций

Все три функции $y = x^2$, $y = 1,8x^2$ и $y = \frac{1}{3}x^2$ являются квадратичными функциями вида $y = ax^2$. Их графики — это параболы, которые обладают общими свойствами:

• Вершина каждой параболы находится в начале координат, точке $(0, 0)$.
• Все параболы симметричны относительно оси ординат (оси Oy).
• Поскольку коэффициенты $a$ в каждом случае положительны ($1$, $1,8$ и $\frac{1}{3}$), ветви всех парабол направлены вверх.

Для построения графиков найдем координаты нескольких ключевых точек для каждой функции.

1. Для $y = x^2$:
- при $x=0, y=0 \rightarrow (0,0)$
- при $x=\pm1, y=1 \rightarrow (1,1)$ и $(-1,1)$
- при $x=\pm2, y=4 \rightarrow (2,4)$ и $(-2,4)$

2. Для $y = 1,8x^2$:
- при $x=0, y=0 \rightarrow (0,0)$
- при $x=\pm1, y=1,8 \rightarrow (1; 1,8)$ и $(-1; 1,8)$
- при $x=\pm2, y=1,8 \cdot 4 = 7,2 \rightarrow (2; 7,2)$ и $(-2; 7,2)$

3. Для $y = \frac{1}{3}x^2$:
- при $x=0, y=0 \rightarrow (0,0)$
- при $x=\pm1, y=\frac{1}{3} \rightarrow (1, \frac{1}{3})$ и $(-1, \frac{1}{3})$
- при $x=\pm3, y=\frac{1}{3} \cdot 9 = 3 \rightarrow (3,3)$ и $(-3,3)$

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными кривыми, мы получим три параболы. Форма параболы $y=ax^2$ зависит от модуля коэффициента $a$. Чем больше $a$ (при $a>0$), тем парабола "уже", то есть сильнее вытянута вдоль оси Oy. Поскольку $1,8 > 1 > \frac{1}{3}$, график $y=1,8x^2$ будет самым узким, а график $y=\frac{1}{3}x^2$ — самым широким. График $y=x^2$ займет промежуточное положение.

Ответ: Графики всех трех функций — параболы с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. График функции $y=1,8x^2$ является самым узким (наиболее прижат к оси Oy), график $y=\frac{1}{3}x^2$ — самым широким, а график $y=x^2$ располагается между ними.

Сравнение значений функций

Вычислим значения каждой функции для заданных значений аргумента $x$.

При $x = 0,5$:
Для $y = x^2$: $y = (0,5)^2 = 0,25$
Для $y = 1,8x^2$: $y = 1,8 \cdot (0,5)^2 = 1,8 \cdot 0,25 = 0,45$
Для $y = \frac{1}{3}x^2$: $y = \frac{1}{3} \cdot (0,5)^2 = \frac{1}{3} \cdot 0,25 = \frac{1}{12}$
Сравнение: $0,45 > 0,25 > \frac{1}{12}$, что соответствует неравенству $1,8x^2 > x^2 > \frac{1}{3}x^2$.

При $x = 1$:
Для $y = x^2$: $y = 1^2 = 1$
Для $y = 1,8x^2$: $y = 1,8 \cdot 1^2 = 1,8$
Для $y = \frac{1}{3}x^2$: $y = \frac{1}{3} \cdot 1^2 = \frac{1}{3}$
Сравнение: $1,8 > 1 > \frac{1}{3}$, что соответствует неравенству $1,8x^2 > x^2 > \frac{1}{3}x^2$.

При $x = 2$:
Для $y = x^2$: $y = 2^2 = 4$
Для $y = 1,8x^2$: $y = 1,8 \cdot 2^2 = 1,8 \cdot 4 = 7,2$
Для $y = \frac{1}{3}x^2$: $y = \frac{1}{3} \cdot 2^2 = \frac{4}{3}$
Сравнение: $7,2 > 4 > \frac{4}{3}$, что соответствует неравенству $1,8x^2 > x^2 > \frac{1}{3}x^2$.

Ответ: При $x = 0,5$ значения функций ($y=x^2, y=1,8x^2, y=\frac{1}{3}x^2$) равны соответственно $0,25; 0,45; \frac{1}{12}$. При $x = 1$ значения равны $1; 1,8; \frac{1}{3}$. При $x = 2$ значения равны $4; 7,2; \frac{4}{3}$. Для всех указанных $x$ (и для любого $x \neq 0$) справедливо неравенство $1,8x^2 > x^2 > \frac{1}{3}x^2$.