Номер 124, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Функция у = ах, её график и свойства. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 124, страница 48.

Условие.

124. Пересекаются ли парабола у = 2х² и прямая:

а) у = 50;

б) у = 100;

в) у = –8;

г) у = 14х – 20?

Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы определить, пересекаются ли парабола и прямая, и найти координаты точек пересечения, нужно приравнять их уравнения. В результате мы получим уравнение относительно переменной $x$. Если это уравнение имеет действительные корни, то графики пересекаются. Координаты точек пересечения — это найденные значения $x$ и соответствующие им значения $y$.

а) $y = 2x^2$ и $y = 50$

Приравняем правые части уравнений:
$2x^2 = 50$
$x^2 = \frac{50}{2}$
$x^2 = 25$
$x_1 = 5$, $x_2 = -5$
Уравнение имеет два действительных корня, значит, парабола и прямая пересекаются в двух точках. Найдем координаты $y$ для каждой точки. Поскольку уравнение прямой $y = 50$, то ординаты обеих точек равны 50. Точки пересечения: $(5, 50)$ и $(-5, 50)$.

Ответ: Да, пересекаются в точках $(5, 50)$ и $(-5, 50)$.

б) $y = 2x^2$ и $y = 100$

Приравняем правые части уравнений:
$2x^2 = 100$
$x^2 = \frac{100}{2}$
$x^2 = 50$
$x = \pm\sqrt{50} = \pm\sqrt{25 \cdot 2} = \pm 5\sqrt{2}$
$x_1 = 5\sqrt{2}$, $x_2 = -5\sqrt{2}$
Уравнение имеет два действительных корня, значит, парабола и прямая пересекаются в двух точках. Ордината обеих точек равна 100. Точки пересечения: $(5\sqrt{2}, 100)$ и $(-5\sqrt{2}, 100)$.

Ответ: Да, пересекаются в точках $(5\sqrt{2}, 100)$ и $(-5\sqrt{2}, 100)$.

в) $y = 2x^2$ и $y = -8$

Приравняем правые части уравнений:
$2x^2 = -8$
$x^2 = -4$
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому данное уравнение не имеет действительных корней. Также можно заметить, что минимальное значение функции $y = 2x^2$ равно 0 (в вершине параболы), а прямая $y = -8$ находится ниже оси абсцисс, поэтому пересечений быть не может.

Ответ: Нет, не пересекаются.

г) $y = 2x^2$ и $y = 14x - 20$

Приравняем правые части уравнений:
$2x^2 = 14x - 20$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$2x^2 - 14x + 20 = 0$
Разделим обе части на 2 для упрощения:
$x^2 - 7x + 10 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 3}{2}$
$x_1 = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать уравнение параболы $y = 2x^2$.
При $x_1 = 5$: $y_1 = 2 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50$.
При $x_2 = 2$: $y_2 = 2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8$.
Точки пересечения: $(5, 50)$ и $(2, 8)$.

Ответ: Да, пересекаются в точках $(5, 50)$ и $(2, 8)$.