Номер 123, страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

9. Функция у = ах, её график и свойства. Параграф 4. Квадратичная функция и её график. Глава 2. Функции и графики - номер 123, страница 48.

Условие.

123. Изобразите схематически график и перечислите свойства функции:

а) у = 0,2х²;

б) у = –10х².

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 7.

Решение 8.

а) $y = 0,2x^2$

График данной функции — парабола. Это функция вида $y=ax^2$, где $a=0,2$. Поскольку коэффициент $a=0,2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0,0)$. Так как $|a| = 0,2 < 1$, парабола будет "шире", чем график функции $y=x^2$.

Схематический график функции:

Свойства функции:

• Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как выражение $0,2x^2$ имеет смысл при любом значении $x$.
• Область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$, так как $x^2 \ge 0$, и, следовательно, $y = 0,2x^2 \ge 0$.
• Четность: функция является четной, так как $y(-x) = 0,2(-x)^2 = 0,2x^2 = y(x)$. График симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Нули функции: $y=0$ при $0,2x^2 = 0$, то есть при $x=0$. График пересекает оси координат в точке $(0,0)$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Значений $x$, при которых $y < 0$, не существует.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: точка минимума $x_{min} = 0$, минимальное значение функции $y_{min} = 0$. Максимума у функции нет.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: График функции $y = 0,2x^2$ — парабола с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх. Функция четная, область определения — все действительные числа, область значений — $[0; +\infty)$. Функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$, имеет точку минимума $(0,0)$.

б) $y = -10x^2$

График данной функции — парабола. Это функция вида $y=ax^2$, где $a=-10$. Поскольку коэффициент $a=-10 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0,0)$. Так как $|a| = 10 > 1$, парабола будет "уже", чем график функции $y=x^2$ (сильно вытянута вдоль оси OY).

Схематический график функции:

Свойства функции:

• Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как выражение $-10x^2$ имеет смысл при любом значении $x$.
• Область значений функции: $E(y) = (-\infty; 0]$, так как $x^2 \ge 0$, и, следовательно, $y = -10x^2 \le 0$.
• Четность: функция является четной, так как $y(-x) = -10(-x)^2 = -10x^2 = y(x)$. График симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Нули функции: $y=0$ при $-10x^2 = 0$, то есть при $x=0$. График пересекает оси координат в точке $(0,0)$.
• Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Значений $x$, при которых $y > 0$, не существует.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: точка максимума $x_{max} = 0$, максимальное значение функции $y_{max} = 0$. Минимума у функции нет.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: График функции $y = -10x^2$ — парабола с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вниз. Функция четная, область определения — все действительные числа, область значений — $(-\infty; 0]$. Функция возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$, имеет точку максимума $(0,0)$.