Страница 48 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

118. Постройте график функции y = $\frac{1}{4}$х². Найдите:

а) значение у при х = –2,5; –1,5; 3,5;

б) значения х, при которых у = 5; 3; 2;

в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.

Графиком функции $y = \frac{1}{4}x^2$ является парабола. Так как коэффициент $a = \frac{1}{4} > 0$, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$. Функция является четной, поскольку $y(-x) = \frac{1}{4}(-x)^2 = \frac{1}{4}x^2 = y(x)$, следовательно, ее график симметричен относительно оси Oy. Для построения графика составим таблицу значений:

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим график параболы.

а) значение y при x = -2,5; -1,5; 3,5;

Для нахождения значений $y$ подставим соответствующие значения $x$ в уравнение функции $y = \frac{1}{4}x^2$.

При $x = -2.5$: $y = \frac{1}{4}(-2.5)^2 = \frac{1}{4} \cdot 6.25 = 1.5625$.

При $x = -1.5$: $y = \frac{1}{4}(-1.5)^2 = \frac{1}{4} \cdot 2.25 = 0.5625$.

При $x = 3.5$: $y = \frac{1}{4}(3.5)^2 = \frac{1}{4} \cdot 12.25 = 3.0625$.

Ответ: при $x=-2.5$ $y=1.5625$; при $x=-1.5$ $y=0.5625$; при $x=3.5$ $y=3.0625$.

б) значения x, при которых y = 5; 3; 2;

Для нахождения значений $x$ решим уравнение $y = \frac{1}{4}x^2$ относительно $x$.

Из уравнения следует, что $x^2 = 4y$, значит $x = \pm\sqrt{4y} = \pm2\sqrt{y}$.

При $y = 5$: $x = \pm2\sqrt{5}$.

При $y = 3$: $x = \pm2\sqrt{3}$.

При $y = 2$: $x = \pm2\sqrt{2}$.

Ответ: $y=5$ при $x = \pm2\sqrt{5}$; $y=3$ при $x = \pm2\sqrt{3}$; $y=2$ при $x = \pm2\sqrt{2}$.

в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.

Функция вида $y=ax^2$ при $a > 0$ убывает на промежутке, где $x$ изменяется от $-\infty$ до 0, и возрастает на промежутке, где $x$ изменяется от 0 до $+\infty$. Точка $x=0$ является точкой минимума.

Для функции $y = \frac{1}{4}x^2$ имеем:

Промежуток убывания: $(-\infty, 0]$.

Промежуток возрастания: $[0, +\infty)$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$ и возрастает на промежутке $[0, +\infty)$.

119. Постройте график функции у = –2х² и найдите:

а) значение у при х = –1,5; 0,6; 1,5;

б) значения х, при которых у = –1; –3; –4,5;

в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.

Для построения графика функции $y = -2x^2$ сначала определим его основные свойства. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-2$ (отрицательный), ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$.

Составим таблицу значений для нескольких точек, чтобы построить график:

• при $x = 0$, $y = -2 \cdot 0^2 = 0$. Точка $(0, 0)$.
• при $x = 1$, $y = -2 \cdot 1^2 = -2$. Точка $(1, -2)$.
• при $x = -1$, $y = -2 \cdot (-1)^2 = -2$. Точка $(-1, -2)$.
• при $x = 1,5$, $y = -2 \cdot (1,5)^2 = -2 \cdot 2,25 = -4,5$. Точка $(1,5; -4,5)$.
• при $x = -1,5$, $y = -2 \cdot (-1,5)^2 = -2 \cdot 2,25 = -4,5$. Точка $(-1,5; -4,5)$.
• при $x = 2$, $y = -2 \cdot 2^2 = -8$. Точка $(2, -8)$.
• при $x = -2$, $y = -2 \cdot (-2)^2 = -8$. Точка $(-2, -8)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим график параболы $y = -2x^2$.

Теперь, используя график и формулу, найдем требуемые значения.

а) значение у при x = -1,5; 0,6; 1,5;
Для нахождения значений $y$ подставим данные значения $x$ в формулу функции $y = -2x^2$:
- При $x = -1,5$: $y = -2 \cdot (-1,5)^2 = -2 \cdot 2,25 = -4,5$.
- При $x = 0,6$: $y = -2 \cdot (0,6)^2 = -2 \cdot 0,36 = -0,72$.
- При $x = 1,5$: $y = -2 \cdot (1,5)^2 = -2 \cdot 2,25 = -4,5$.

Ответ: при $x = -1,5$, $y = -4,5$; при $x = 0,6$, $y = -0,72$; при $x = 1,5$, $y = -4,5$.

б) значения x, при которых y = -1; -3; -4,5;
Для нахождения значений $x$ подставим данные значения $y$ в формулу $y = -2x^2$ и решим получившиеся уравнения:
- При $y = -1$:
$-1 = -2x^2$
$x^2 = \frac{-1}{-2} = 0,5$
$x = \pm\sqrt{0,5} = \pm\sqrt{\frac{1}{2}} = \pm\frac{1}{\sqrt{2}} = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$.
- При $y = -3$:
$-3 = -2x^2$
$x^2 = \frac{-3}{-2} = 1,5$
$x = \pm\sqrt{1,5} = \pm\sqrt{\frac{3}{2}} = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$.
- При $y = -4,5$:
$-4,5 = -2x^2$
$x^2 = \frac{-4,5}{-2} = 2,25$
$x = \pm\sqrt{2,25} = \pm1,5$.

Ответ: при $y = -1$, $x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}$; при $y = -3$, $x = \pm\frac{\sqrt{6}}{2}$; при $y = -4,5$, $x = \pm1,5$.

в) промежуток возрастания и промежуток убывания функции.
Функция $y = -2x^2$ представляет собой параболу с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вниз.
- Функция возрастает, когда при увеличении $x$ значение $y$ также увеличивается. Для данной параболы это происходит на промежутке от $-\infty$ до вершины. Таким образом, функция возрастает при $x \in (-\infty, 0]$.
- Функция убывает, когда при увеличении $x$ значение $y$ уменьшается. Это происходит на промежутке от вершины до $+\infty$. Таким образом, функция убывает при $x \in [0, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, 0]$ и убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

120. Постройте в одной системе координат графики функций

Сравните значения этих функций при х = 0,5, х = 1 и х = 2.

Построение графиков функций

Все три функции $y = x^2$, $y = 1,8x^2$ и $y = \frac{1}{3}x^2$ являются квадратичными функциями вида $y = ax^2$. Их графики — это параболы, которые обладают общими свойствами:

• Вершина каждой параболы находится в начале координат, точке $(0, 0)$.
• Все параболы симметричны относительно оси ординат (оси Oy).
• Поскольку коэффициенты $a$ в каждом случае положительны ($1$, $1,8$ и $\frac{1}{3}$), ветви всех парабол направлены вверх.

Для построения графиков найдем координаты нескольких ключевых точек для каждой функции.

1. Для $y = x^2$:
- при $x=0, y=0 \rightarrow (0,0)$
- при $x=\pm1, y=1 \rightarrow (1,1)$ и $(-1,1)$
- при $x=\pm2, y=4 \rightarrow (2,4)$ и $(-2,4)$

2. Для $y = 1,8x^2$:
- при $x=0, y=0 \rightarrow (0,0)$
- при $x=\pm1, y=1,8 \rightarrow (1; 1,8)$ и $(-1; 1,8)$
- при $x=\pm2, y=1,8 \cdot 4 = 7,2 \rightarrow (2; 7,2)$ и $(-2; 7,2)$

3. Для $y = \frac{1}{3}x^2$:
- при $x=0, y=0 \rightarrow (0,0)$
- при $x=\pm1, y=\frac{1}{3} \rightarrow (1, \frac{1}{3})$ и $(-1, \frac{1}{3})$
- при $x=\pm3, y=\frac{1}{3} \cdot 9 = 3 \rightarrow (3,3)$ и $(-3,3)$

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными кривыми, мы получим три параболы. Форма параболы $y=ax^2$ зависит от модуля коэффициента $a$. Чем больше $a$ (при $a>0$), тем парабола "уже", то есть сильнее вытянута вдоль оси Oy. Поскольку $1,8 > 1 > \frac{1}{3}$, график $y=1,8x^2$ будет самым узким, а график $y=\frac{1}{3}x^2$ — самым широким. График $y=x^2$ займет промежуточное положение.

Ответ: Графики всех трех функций — параболы с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. График функции $y=1,8x^2$ является самым узким (наиболее прижат к оси Oy), график $y=\frac{1}{3}x^2$ — самым широким, а график $y=x^2$ располагается между ними.

Сравнение значений функций

Вычислим значения каждой функции для заданных значений аргумента $x$.

При $x = 0,5$:
Для $y = x^2$: $y = (0,5)^2 = 0,25$
Для $y = 1,8x^2$: $y = 1,8 \cdot (0,5)^2 = 1,8 \cdot 0,25 = 0,45$
Для $y = \frac{1}{3}x^2$: $y = \frac{1}{3} \cdot (0,5)^2 = \frac{1}{3} \cdot 0,25 = \frac{1}{12}$
Сравнение: $0,45 > 0,25 > \frac{1}{12}$, что соответствует неравенству $1,8x^2 > x^2 > \frac{1}{3}x^2$.

При $x = 1$:
Для $y = x^2$: $y = 1^2 = 1$
Для $y = 1,8x^2$: $y = 1,8 \cdot 1^2 = 1,8$
Для $y = \frac{1}{3}x^2$: $y = \frac{1}{3} \cdot 1^2 = \frac{1}{3}$
Сравнение: $1,8 > 1 > \frac{1}{3}$, что соответствует неравенству $1,8x^2 > x^2 > \frac{1}{3}x^2$.

При $x = 2$:
Для $y = x^2$: $y = 2^2 = 4$
Для $y = 1,8x^2$: $y = 1,8 \cdot 2^2 = 1,8 \cdot 4 = 7,2$
Для $y = \frac{1}{3}x^2$: $y = \frac{1}{3} \cdot 2^2 = \frac{4}{3}$
Сравнение: $7,2 > 4 > \frac{4}{3}$, что соответствует неравенству $1,8x^2 > x^2 > \frac{1}{3}x^2$.

Ответ: При $x = 0,5$ значения функций ($y=x^2, y=1,8x^2, y=\frac{1}{3}x^2$) равны соответственно $0,25; 0,45; \frac{1}{12}$. При $x = 1$ значения равны $1; 1,8; \frac{1}{3}$. При $x = 2$ значения равны $4; 7,2; \frac{4}{3}$. Для всех указанных $x$ (и для любого $x \neq 0$) справедливо неравенство $1,8x^2 > x^2 > \frac{1}{3}x^2$.

121. Постройте в одной системе координат графики функций

у = 0,4х² и у = –0,4х².

Какова область значений каждой из этих функций?

Постройте в одной системе координат графики функций $y = 0,4x^2$ и $y = -0,4x^2$

Обе функции, $y = 0.4x^2$ и $y = -0.4x^2$, являются квадратичными. Их графики — это параболы с общей вершиной в начале координат $(0, 0)$ и общей осью симметрии — осью OY.

Для построения графика функции $y = 0.4x^2$ составим таблицу значений. Так как коэффициент $a = 0.4 > 0$, ветви параболы направлены вверх. В силу симметрии относительно оси OY, значения функции для противоположных значений $x$ совпадают.

Для построения графика функции $y = -0.4x^2$ также составим таблицу значений. Так как коэффициент $a = -0.4 < 0$, ветви параболы направлены вниз. График этой функции симметричен графику первой функции относительно оси OX.

Ответ: Для построения графиков следует нанести точки из таблиц на координатную плоскость и соединить их плавными линиями. Графиком функции $y = 0.4x^2$ является парабола с ветвями, направленными вверх, а графиком функции $y = -0.4x^2$ — парабола с ветвями, направленными вниз. Обе параболы имеют вершину в точке $(0,0)$ и симметричны относительно оси OY, а также симметричны друг другу относительно оси OX.

Какова область значений каждой из этих функций?

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$.

Для функции $y = 0.4x^2$: так как выражение $x^2$ всегда неотрицательно (то есть $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$), а коэффициент $0.4$ положителен, то произведение $0.4x^2$ также будет неотрицательным. Следовательно, $y \ge 0$.

Для функции $y = -0.4x^2$: так как $x^2 \ge 0$, а коэффициент $-0.4$ отрицателен, то произведение $-0.4x^2$ будет неположительным. Следовательно, $y \le 0$.

Ответ: Область значений для функции $y = 0.4x^2$ — это промежуток $[0; +\infty)$. Область значений для функции $y = -0.4x^2$ — это промежуток $(-\infty; 0]$.

122. Покажите схематически, как расположен в координатной плоскости график функции:

а) у = –1,5х²;

б) у = 0,8х².

Перечислите свойства этой функции.

а) $y = -1,5x^2$

Данная функция является квадратичной вида $y = ax^2$, ее график — парабола.

Схематическое расположение графика:

График функции — это парабола с вершиной в начале координат, точке $(0, 0)$. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1,5$.

• Поскольку $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
• Поскольку $|a| = |-1,5| = 1,5 > 1$, парабола "сжата" к оси Oy, то есть она более крутая по сравнению с эталонной параболой $y = -x^2$.
• График расположен в III и IV координатных четвертях и симметричен относительно оси Oy.

Свойства функции:

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все неположительные числа, $E(y) = (-\infty; 0]$.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$. График пересекает оси координат в единственной точке — начале координат $(0, 0)$.
• Четность: функция является четной, так как $y(-x) = -1,5(-x)^2 = -1,5x^2 = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
• Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при всех $x \neq 0$, то есть на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
• Монотонность: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего максимума, $y_{max} = 0$. Точка максимума — $(0, 0)$. Минимума у функции нет.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: График функции $y = -1,5x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вниз. Она расположена в III и IV четвертях. Основные свойства: область определения — все действительные числа, область значений — $(-\infty; 0]$, функция четная, возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$, точка максимума — $(0,0)$.

б) $y = 0,8x^2$

Данная функция является квадратичной вида $y = ax^2$, ее график — парабола.

Схематическое расположение графика:

График функции — это парабола с вершиной в начале координат, точке $(0, 0)$. Коэффициент при $x^2$ равен $a = 0,8$.

• Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Поскольку $|a| = |0,8| = 0,8 < 1$, парабола "сжата" к оси Ox, то есть она более широкая (пологая) по сравнению с эталонной параболой $y = x^2$.
• График расположен в I и II координатных четвертях и симметричен относительно оси Oy.

Свойства функции:

• Область определения: все действительные числа, $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: все неотрицательные числа, $E(y) = [0; +\infty)$.
• Нули функции: $y=0$ при $x=0$. График пересекает оси координат в единственной точке — начале координат $(0, 0)$.
• Четность: функция является четной, так как $y(-x) = 0,8(-x)^2 = 0,8x^2 = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат (оси Oy).
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при всех $x \neq 0$, то есть на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
• Монотонность: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего минимума, $y_{min} = 0$. Точка минимума — $(0, 0)$. Максимума у функции нет.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей своей области определения.

Ответ: График функции $y = 0,8x^2$ — это парабола с вершиной в начале координат и ветвями, направленными вверх. Она расположена в I и II четвертях. Основные свойства: область определения — все действительные числа, область значений — $[0; +\infty)$, функция четная, убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$, точка минимума — $(0,0)$.

123. Изобразите схематически график и перечислите свойства функции:

а) у = 0,2х²;

б) у = –10х².

а) $y = 0,2x^2$

График данной функции — парабола. Это функция вида $y=ax^2$, где $a=0,2$. Поскольку коэффициент $a=0,2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0,0)$. Так как $|a| = 0,2 < 1$, парабола будет "шире", чем график функции $y=x^2$.

Схематический график функции:

Свойства функции:

• Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как выражение $0,2x^2$ имеет смысл при любом значении $x$.
• Область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$, так как $x^2 \ge 0$, и, следовательно, $y = 0,2x^2 \ge 0$.
• Четность: функция является четной, так как $y(-x) = 0,2(-x)^2 = 0,2x^2 = y(x)$. График симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Нули функции: $y=0$ при $0,2x^2 = 0$, то есть при $x=0$. График пересекает оси координат в точке $(0,0)$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Значений $x$, при которых $y < 0$, не существует.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: точка минимума $x_{min} = 0$, минимальное значение функции $y_{min} = 0$. Максимума у функции нет.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: График функции $y = 0,2x^2$ — парабола с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вверх. Функция четная, область определения — все действительные числа, область значений — $[0; +\infty)$. Функция убывает на $(-\infty; 0]$ и возрастает на $[0; +\infty)$, имеет точку минимума $(0,0)$.

б) $y = -10x^2$

График данной функции — парабола. Это функция вида $y=ax^2$, где $a=-10$. Поскольку коэффициент $a=-10 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0,0)$. Так как $|a| = 10 > 1$, парабола будет "уже", чем график функции $y=x^2$ (сильно вытянута вдоль оси OY).

Схематический график функции:

Свойства функции:

• Область определения функции: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как выражение $-10x^2$ имеет смысл при любом значении $x$.
• Область значений функции: $E(y) = (-\infty; 0]$, так как $x^2 \ge 0$, и, следовательно, $y = -10x^2 \le 0$.
• Четность: функция является четной, так как $y(-x) = -10(-x)^2 = -10x^2 = y(x)$. График симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Нули функции: $y=0$ при $-10x^2 = 0$, то есть при $x=0$. График пересекает оси координат в точке $(0,0)$.
• Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Значений $x$, при которых $y > 0$, не существует.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: точка максимума $x_{max} = 0$, максимальное значение функции $y_{max} = 0$. Минимума у функции нет.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения.

Ответ: График функции $y = -10x^2$ — парабола с вершиной в точке $(0,0)$ и ветвями, направленными вниз. Функция четная, область определения — все действительные числа, область значений — $(-\infty; 0]$. Функция возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$, имеет точку максимума $(0,0)$.

124. Пересекаются ли парабола у = 2х² и прямая:

а) у = 50;

б) у = 100;

в) у = –8;

г) у = 14х – 20?

Если точки пересечения существуют, то найдите их координаты.

Чтобы определить, пересекаются ли парабола и прямая, и найти координаты точек пересечения, нужно приравнять их уравнения. В результате мы получим уравнение относительно переменной $x$. Если это уравнение имеет действительные корни, то графики пересекаются. Координаты точек пересечения — это найденные значения $x$ и соответствующие им значения $y$.

а) $y = 2x^2$ и $y = 50$

Приравняем правые части уравнений:
$2x^2 = 50$
$x^2 = \frac{50}{2}$
$x^2 = 25$
$x_1 = 5$, $x_2 = -5$
Уравнение имеет два действительных корня, значит, парабола и прямая пересекаются в двух точках. Найдем координаты $y$ для каждой точки. Поскольку уравнение прямой $y = 50$, то ординаты обеих точек равны 50. Точки пересечения: $(5, 50)$ и $(-5, 50)$.

Ответ: Да, пересекаются в точках $(5, 50)$ и $(-5, 50)$.

б) $y = 2x^2$ и $y = 100$

Приравняем правые части уравнений:
$2x^2 = 100$
$x^2 = \frac{100}{2}$
$x^2 = 50$
$x = \pm\sqrt{50} = \pm\sqrt{25 \cdot 2} = \pm 5\sqrt{2}$
$x_1 = 5\sqrt{2}$, $x_2 = -5\sqrt{2}$
Уравнение имеет два действительных корня, значит, парабола и прямая пересекаются в двух точках. Ордината обеих точек равна 100. Точки пересечения: $(5\sqrt{2}, 100)$ и $(-5\sqrt{2}, 100)$.

Ответ: Да, пересекаются в точках $(5\sqrt{2}, 100)$ и $(-5\sqrt{2}, 100)$.

в) $y = 2x^2$ и $y = -8$

Приравняем правые части уравнений:
$2x^2 = -8$
$x^2 = -4$
Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому данное уравнение не имеет действительных корней. Также можно заметить, что минимальное значение функции $y = 2x^2$ равно 0 (в вершине параболы), а прямая $y = -8$ находится ниже оси абсцисс, поэтому пересечений быть не может.

Ответ: Нет, не пересекаются.

г) $y = 2x^2$ и $y = 14x - 20$

Приравняем правые части уравнений:
$2x^2 = 14x - 20$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$2x^2 - 14x + 20 = 0$
Разделим обе части на 2 для упрощения:
$x^2 - 7x + 10 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{7 \pm 3}{2}$
$x_1 = \frac{7 + 3}{2} = \frac{10}{2} = 5$
$x_2 = \frac{7 - 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив $x$ в любое из исходных уравнений. Удобнее использовать уравнение параболы $y = 2x^2$.
При $x_1 = 5$: $y_1 = 2 \cdot 5^2 = 2 \cdot 25 = 50$.
При $x_2 = 2$: $y_2 = 2 \cdot 2^2 = 2 \cdot 4 = 8$.
Точки пересечения: $(5, 50)$ и $(2, 8)$.

Ответ: Да, пересекаются в точках $(5, 50)$ и $(2, 8)$.

125. Принадлежит ли графику функции у = –100х² точка:

а) М(1,5; –225);

б) K(–3; –900);

в) P(2; 400)?

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции $y = -100x^2$, необходимо подставить координаты $x$ и $y$ каждой точки в уравнение функции. Если в результате подстановки абсциссы ($x$) в уравнение мы получаем ординату ($y$) точки, то равенство считается верным, и точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

a) Проверим, принадлежит ли графику функции точка $M(1,5; -225)$.

Подставим абсциссу точки $x = 1,5$ в уравнение функции и вычислим значение $y$:

$y = -100 \cdot (1,5)^2$

Возведем $1,5$ в квадрат: $(1,5)^2 = 2,25$.

Теперь умножим на $-100$: $y = -100 \cdot 2,25 = -225$.

Вычисленное значение $y = -225$ совпадает с ординатой точки M. Следовательно, точка M удовлетворяет уравнению функции.

Ответ: точка M принадлежит графику функции.

б) Проверим, принадлежит ли графику функции точка $K(-3; -900)$.

Подставим абсциссу точки $x = -3$ в уравнение функции и вычислим значение $y$:

$y = -100 \cdot (-3)^2$

Возведем $-3$ в квадрат: $(-3)^2 = 9$.

Теперь умножим на $-100$: $y = -100 \cdot 9 = -900$.

Вычисленное значение $y = -900$ совпадает с ординатой точки K. Следовательно, точка K удовлетворяет уравнению функции.

Ответ: точка K принадлежит графику функции.

в) Проверим, принадлежит ли графику функции точка $P(2; 400)$.

Подставим абсциссу точки $x = 2$ в уравнение функции и вычислим значение $y$:

$y = -100 \cdot (2)^2$

Возведем $2$ в квадрат: $(2)^2 = 4$.

Теперь умножим на $-100$: $y = -100 \cdot 4 = -400$.

Вычисленное значение $y = -400$ не совпадает с ординатой точки P, которая равна $400$. Так как $-400 \neq 400$, точка P не удовлетворяет уравнению функции.

Ответ: точка P не принадлежит графику функции.