Страница 43 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

116. Найдите первые четыре цифры длины окружности в сантиметрах, радиус которой равен 2,35 см.

Для нахождения длины окружности $C$ используется формула $C = 2 \pi r$, где $r$ — радиус окружности.

По условию задачи радиус $r = 2,35$ см.

Подставим значение радиуса в формулу, чтобы найти длину окружности:

$C = 2 \cdot \pi \cdot 2,35 = 4,7 \cdot \pi$ см.

Для вычисления численного значения воспользуемся приближенным значением числа $\pi$. Для нахождения первых четырех цифр достаточно взять $\pi \approx 3,1416$.

$C \approx 4,7 \cdot 3,1416 = 14,76552$ см.

Первые четыре цифры полученного значения длины окружности — это 1, 4, 7 и 6.

Ответ: 1476.

117. За одну поездку израсходовали более трёх, но менее четырёх литров бензина. Укажите точность приближённого значения израсходованного бензина, если за приближённое значение принять:

а) 3 л;

б) 4 л;

в) среднее арифметическое 3 л и 4 л.

Пусть $x$ — точное количество израсходованного бензина в литрах. По условию задачи, это значение находится в интервале $3 < x < 4$. Точность приближенного значения — это граница абсолютной погрешности, то есть наибольшее возможное значение модуля разности между точным значением $x$ и его приближением $a$. Иначе говоря, это такое число $h$, что $|x - a| \le h$.

а) 3 л;

Если в качестве приближенного значения взять $a = 3$ л, то нам нужно оценить погрешность $|x - 3|$.

Так как по условию $3 < x < 4$, вычтем 3 из всех частей неравенства:

$3 - 3 < x - 3 < 4 - 3$

$0 < x - 3 < 1$

Поскольку $x - 3$ — положительная величина, то $|x - 3| = x - 3$. Таким образом, мы имеем $|x - 3| < 1$. Это означает, что погрешность не превышает 1 л. Следовательно, точность приближенного значения составляет 1 л.

Ответ: 1 л.

б) 4 л;

Если в качестве приближенного значения взять $a = 4$ л, то нам нужно оценить погрешность $|x - 4|$.

Из условия $3 < x < 4$ вычтем 4 из всех частей неравенства:

$3 - 4 < x - 4 < 4 - 4$

$-1 < x - 4 < 0$

Это неравенство означает, что $|x - 4| < 1$. Погрешность не превышает 1 л. Следовательно, точность приближенного значения составляет 1 л.

Ответ: 1 л.

в) среднее арифметическое 3 л и 4 л.

Сначала найдем среднее арифметическое, которое будет нашим приближенным значением $a$:

$a = \frac{3 + 4}{2} = 3.5$ л.

Теперь оценим погрешность $|x - 3.5|$ для $3 < x < 4$. Вычтем 3.5 из всех частей этого неравенства:

$3 - 3.5 < x - 3.5 < 4 - 3.5$

$-0.5 < x - 3.5 < 0.5$

Данное двойное неравенство эквивалентно записи $|x - 3.5| < 0.5$. Это означает, что погрешность не превышает 0,5 л. Следовательно, точность этого приближенного значения составляет 0,5 л.

Ответ: 0,5 л.

1. Сформулируйте определение понятия функции. Что называют областью определения функции и множеством значений функции? Как обозначаются эти понятия?

Определение понятия функции
Функция (или функциональная зависимость) — это правило, по которому каждому элементу $x$ из некоторого множества $X$ (называемого областью определения) ставится в соответствие единственный элемент $y$ из множества $Y$.
Переменную $x$ называют независимой переменной или аргументом. Переменную $y$ называют зависимой переменной или значением функции. Сам факт существования функциональной зависимости между множествами $X$ и $Y$ обозначают как $f: X \rightarrow Y$. Чаще всего используется запись $y = f(x)$, где $f$ — это и есть правило (закон), по которому находят $y$, зная $x$.
Ответ:

Область определения функции
Областью определения функции называют множество всех допустимых значений аргумента $x$ (независимой переменной), при которых функция имеет смысл (т.е. для которых можно вычислить значение $y$).
Обозначается область определения функции как $D(f)$ или $D(y)$.
Ответ:

Множество значений функции
Множеством (или областью) значений функции называют множество всех значений, которые принимает зависимая переменная $y$ (или $f(x)$), когда аргумент $x$ пробегает всю область определения.
Обозначается множество значений функции как $E(f)$ или $E(y)$.
Ответ:

2. Сформулируйте определения чётной функции, нечётной функции. Приведите примеры чётной функции, нечётной функции. Может ли функция не обладать ни свойством чётности, ни свойством нечётности?

Определение чётной функции

Функция $y = f(x)$ называется чётной, если для любого значения $x$ из её области определения $D(f)$ выполняются два условия:

1. Область определения функции симметрична относительно начала координат (то есть, если $x \in D(f)$, то и $-x \in D(f)$).
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

График чётной функции симметричен относительно оси ординат (оси OY).

Ответ: Функция $y = f(x)$ называется чётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = f(x)$.

Определение нечётной функции

Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если для любого значения $x$ из её области определения $D(f)$ выполняются два условия:

1. Область определения функции симметрична относительно начала координат.
2. Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

График нечётной функции симметричен относительно начала координат (точки (0;0)).

Ответ: Функция $y = f(x)$ называется нечётной, если её область определения симметрична относительно нуля и для любого $x$ из этой области выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$.

Примеры чётной функции

1. Степенная функция с чётным показателем: $y = x^2, y = x^4, y = x^6, \dots$.
Например, для $y = x^2$: область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ является симметричной.
Проверка: $f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$. Условие выполняется, функция чётная.

2. Функция $y = \cos(x)$.
Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична.
Проверка: $f(-x) = \cos(-x) = \cos(x) = f(x)$. Условие выполняется, функция чётная.

3. Функция модуля $y = |x|$.
Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична.
Проверка: $f(-x) = |-x| = |x| = f(x)$. Условие выполняется, функция чётная.

Ответ: Примеры чётных функций: $y = x^2$, $y = \cos(x)$, $y = |x|$.

Примеры нечётной функции

1. Степенная функция с нечётным показателем: $y = x, y = x^3, y = x^5, \dots$.
Например, для $y = x^3$: область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична.
Проверка: $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$. Условие выполняется, функция нечётная.

2. Функции $y = \sin(x)$, $y = \tan(x)$, $y = \cot(x)$.
Например, для $y = \sin(x)$: область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична.
Проверка: $f(-x) = \sin(-x) = -\sin(x) = -f(x)$. Условие выполняется, функция нечётная.

3. Функция $y = 1/x$.
Область определения $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$ симметрична.
Проверка: $f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x)$. Условие выполняется, функция нечётная.

Ответ: Примеры нечётных функций: $y = x^3$, $y = \sin(x)$, $y = 1/x$.

Может ли функция не обладать ни свойством чётности, ни свойством нечётности?

Да, может. Такие функции называются функциями общего вида. Большинство функций не являются ни чёткими, ни нечёткими. Это может произойти по двум причинам:

1. Несимметричная область определения. Для проверки на чётность/нечётность необходимо, чтобы область определения была симметрична. Если это не так, функция не может быть ни чётной, ни нечётной. Например, функция $y = \sqrt{x}$. Её область определения $D(f) = [0; +\infty)$ несимметрична.
2. Невыполнение условий чётности/нечётности при симметричной области определения. Область определения может быть симметричной, но при этом ни равенство $f(-x) = f(x)$, ни равенство $f(-x) = -f(x)$ не выполняются для всех $x$ из области определения.
   Например, рассмотрим функцию $y = x + 1$. Область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$ симметрична.
   Проверим на чётность: $f(-x) = (-x) + 1 = -x + 1$. Так как $-x + 1 \neq x + 1$, то $f(-x) \neq f(x)$.
   Проверим на нечётность: $-f(x) = -(x + 1) = -x - 1$. Так как $-x + 1 \neq -x - 1$, то $f(-x) \neq -f(x)$.
   Следовательно, функция $y = x + 1$ не является ни чётной, ни нечётной.

Ответ: Да, функция может не быть ни чётной, ни нечётной. Такие функции называются функциями общего вида. Примером является $y=x+1$ или любая функция с несимметричной областью определения, например $y = \ln(x)$ (область определения $(0; +\infty)$).

3. Перечислите и проиллюстрируйте рисунком свойства функции: