Номер 112, страница 41 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

8. Графики и свойства некоторых видов функций. Параграф 3. Функции и их свойства. Глава 2. Функции и графики - номер 112, страница 41.

Условие.

112. Постройте график функции и опишите её свойства:

Решение 1.

Решение 8.

а) $y = -3x + 1$

Построение графика:
Это линейная функция вида $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -3$ и свободный член $b = 1$. Графиком является прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

• При $x = 0$, $y = -3 \cdot 0 + 1 = 1$. Получаем точку $(0; 1)$.
• При $x = 1$, $y = -3 \cdot 1 + 1 = -2$. Получаем точку $(1; -2)$.

Проводим прямую через эти две точки. Прямая будет наклонена к оси $Ox$ под тупым углом, так как $k < 0$.

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, так как функция определена для любого значения $x$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Нули функции: $y = 0$ при $-3x + 1 = 0$, то есть $x = \frac{1}{3}$. График пересекает ось $Ox$ в точке $(\frac{1}{3}; 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; \frac{1}{3})$; $y < 0$ при $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$.
• Монотонность: функция является убывающей на всей области определения, так как угловой коэффициент $k = -3 < 0$.
• Четность/нечетность: функция общего вида, так как $y(-x) = -3(-x) + 1 = 3x + 1$, что не равно ни $y(x)$, ни $-y(x)$.

Ответ: График функции – прямая линия, проходящая через точки $(0; 1)$ и $(1; -2)$. Функция убывает на всей области определения. Область определения и область значений: $(-\infty; +\infty)$. Ноль функции: $x = 1/3$. Функция общего вида.

б) $y = 5 + 2x$

Построение графика:
Это линейная функция $y = 2x + 5$ ($k = 2, b = 5$). Графиком является прямая.

• При $x = 0$, $y = 5 + 2 \cdot 0 = 5$. Точка $(0; 5)$.
• При $x = -1$, $y = 5 + 2 \cdot (-1) = 3$. Точка $(-1; 3)$.

Проводим прямую через эти точки. Прямая наклонена к оси $Ox$ под острым углом ($k>0$).

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Нули функции: $y = 0$ при $5 + 2x = 0$, то есть $x = -2.5$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-2.5; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -2.5)$.
• Монотонность: функция является возрастающей на всей области определения ($k = 2 > 0$).
• Четность/нечетность: функция общего вида ($y(-x) = 5 - 2x \neq y(x)$ и $\neq -y(x)$).

Ответ: График функции – прямая линия, проходящая через точки $(0; 5)$ и $(-1; 3)$. Функция возрастает на всей области определения. Область определения и область значений: $(-\infty; +\infty)$. Ноль функции: $x = -2.5$. Функция общего вида.

в) $y = -\frac{3}{x}$

Построение графика:
Это функция обратной пропорциональности вида $y = \frac{k}{x}$ с $k = -3$. Графиком является гипербола. Так как $k < 0$, ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптоты — оси координат ($x=0$ и $y=0$).
Составим таблицу значений:
$x$: -3, -1, -0.5, 0.5, 1, 3
$y$: 1, 3, 6, -6, -3, -1

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, так как знаменатель не может быть равен нулю.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Нули функции: отсутствуют.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.
• Монотонность: функция возрастает на каждом из промежутков области определения: на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$.
• Четность/нечетность: функция нечетная, так как $y(-x) = -\frac{3}{-x} = \frac{3}{x} = -(-\frac{3}{x}) = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.
• Асимптоты: вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=0$.

Ответ: График – гипербола с ветвями во II и IV четвертях. Асимптоты: $x=0, y=0$. Область определения и значений: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и на $(0; +\infty)$, нечетная.

г) $y = \frac{1}{2x^2}$

Построение графика:
График этой функции похож на график $y = \frac{1}{x^2}$, но "сжат" к оси $Ox$ в 2 раза. Ветви графика расположены в I и II координатных четвертях, так как $y$ всегда положителен. График симметричен относительно оси $Oy$.
Таблица значений:
$x$: $\pm0.5, \pm1, \pm2$
$y$: 2, 0.5, 0.125

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (0; +\infty)$.
• Нули функции: отсутствуют.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ на всей области определения.
• Монотонность: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0)$ и убывает на промежутке $(0; +\infty)$.
• Четность/нечетность: функция четная, так как $y(-x) = \frac{1}{2(-x)^2} = \frac{1}{2x^2} = y(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$.
• Асимптоты: вертикальная $x=0$, горизонтальная $y=0$.

Ответ: График – кривая с двумя ветвями в I и II четвертях, симметричная относительно оси Oy. Асимптоты: $x=0, y=0$. Область определения: $(-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$, область значений: $(0; +\infty)$. Функция возрастает на $(-\infty; 0)$ и убывает на $(0; +\infty)$, четная.

д) $y = -x^2$

Построение графика:
Это квадратичная функция. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1, что меньше нуля). Вершина параболы находится в точке $(0; 0)$. График симметричен относительно оси $Oy$.
Таблица значений:
$x$: 0, $\pm1, \pm2$
$y$: 0, -1, -4

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0]$.
• Нули функции: $y = 0$ при $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Монотонность: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Четность/нечетность: функция четная, так как $y(-x) = -(-x)^2 = -x^2 = y(x)$.
• Экстремумы: точка максимума $(0; 0)$, $y_{max} = 0$.

Ответ: График – парабола с вершиной в точке $(0; 0)$ и ветвями, направленными вниз. Область определения: $(-\infty; +\infty)$, область значений: $(-\infty; 0]$. Функция возрастает на $(-\infty; 0]$ и убывает на $[0; +\infty)$, четная. Максимум функции $y_{max}=0$ при $x=0$.

е) $y = -x^3$

Построение графика:
Это кубическая функция. Графиком является кубическая парабола. Это график функции $y = x^3$, отраженный симметрично относительно оси $Ox$ (или оси $Oy$). График проходит через начало координат.
Таблица значений:
$x$: -2, -1, 0, 1, 2
$y$: 8, 1, 0, -1, -8

Свойства функции:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Нули функции: $y = 0$ при $x=0$.
• Промежутки знакопостоянства: $y > 0$ при $x \in (-\infty; 0)$; $y < 0$ при $x \in (0; +\infty)$.
• Монотонность: функция убывает на всей области определения.
• Четность/нечетность: функция нечетная, так как $y(-x) = -(-x)^3 = -(-x^3) = x^3 = -y(x)$. График симметричен относительно начала координат.

Ответ: График – кубическая парабола, проходящая через начало координат, симметричная относительно него. Область определения и область значений: $(-\infty; +\infty)$. Функция убывает на всей области определения, нечетная. Ноль функции: $x=0$.