Номер 115, страница 42 - гдз по алгебре 9 класс учебник Макарычев, Миндюк

8. Графики и свойства некоторых видов функций. Параграф 3. Функции и их свойства. Глава 2. Функции и графики - номер 115, страница 42.

Условие.

115. Задайте уравнением:

а) функцию вида y = kx + b, график которой изображён на рисунке 16.

б) функцию вида y = $\frac{k}{x}$, график которой изображён на рисунке 17.

в) функцию вида y = kx, график которой изображён на рисунке 18.

Решение 1.

Решение 8.

а) Зададим уравнением функцию вида $y = kx + b$.

1. График функции представляет собой прямую. Это линейная функция вида $y=kx+b$. Коэффициент $b$ равен ординате точки пересечения графика с осью $y$. Из графика видно, что прямая пересекает ось $y$ в точке $(0; 2)$, следовательно, $b=2$. Для нахождения углового коэффициента $k$ выберем еще одну точку, через которую проходит график, например, точку $(4; 0)$. Подставим координаты этой точки и значение $b$ в уравнение функции:
$0 = k \cdot 4 + 2$
$4k = -2$
$k = -\frac{2}{4} = -0.5$
Таким образом, уравнение функции имеет вид $y = -0.5x + 2$.
Ответ: $y = -0.5x + 2$.

2. График функции — это прямая, задаваемая уравнением $y=kx+b$. Прямая пересекает ось $y$ в точке $(0; 1)$, значит, свободный член $b=1$. Для нахождения коэффициента $k$ выберем на графике точку с целочисленными координатами, например, $(1; 3)$. Подставим координаты этой точки и значение $b$ в уравнение:
$3 = k \cdot 1 + 1$
$k = 3 - 1$
$k = 2$
Таким образом, уравнение функции имеет вид $y = 2x + 1$.
Ответ: $y = 2x + 1$.

б) Зададим уравнением функцию вида $y = \frac{k}{x}$.

1. График функции является гиперболой, заданной уравнением вида $y = \frac{k}{x}$. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях, что означает, что коэффициент $k > 0$. Для нахождения коэффициента $k$ выберем на графике точку с целочисленными координатами, например, $(1; 2)$. Подставим ее координаты в уравнение функции:
$2 = \frac{k}{1}$
$k = 2$
Для проверки можно взять другую точку, например $(2; 1)$: $1 = \frac{k}{2}$, откуда также следует, что $k=2$. Значит, уравнение функции имеет вид $y = \frac{2}{x}$.
Ответ: $y = \frac{2}{x}$.

2. График функции является гиперболой вида $y = \frac{k}{x}$. Ветви гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях, следовательно, коэффициент $k < 0$. Выберем на графике точку с целочисленными координатами, например, $(-1; 1)$. Подставим ее координаты в уравнение:
$1 = \frac{k}{-1}$
$k = -1$
Для проверки можно взять точку $(1; -1)$: $-1 = \frac{k}{1}$, откуда также $k=-1$. Следовательно, уравнение функции: $y = \frac{-1}{x}$ или $y = -\frac{1}{x}$.
Ответ: $y = -\frac{1}{x}$.

в) Зададим уравнением функцию вида $y = \sqrt{kx}$.

1. График функции является ветвью параболы, заданной уравнением вида $y = \sqrt{kx}$. Для нахождения коэффициента $k$ выберем на графике точку с целочисленными координатами, отличную от начала координат, например, $(1; 1)$. Подставим ее координаты в уравнение функции:
$1 = \sqrt{k \cdot 1}$
$1 = \sqrt{k}$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$1^2 = (\sqrt{k})^2$
$k = 1$
Проверим по точке $(4; 2)$: $2 = \sqrt{1 \cdot 4}$, что является верным равенством. Следовательно, уравнение функции имеет вид $y = \sqrt{1 \cdot x}$ или $y = \sqrt{x}$.
Ответ: $y = \sqrt{x}$.

2. График функции — ветвь параболы, заданная уравнением вида $y = \sqrt{kx}$. Выберем на графике точку, например, $(1; 2)$. Подставим ее координаты в уравнение:
$2 = \sqrt{k \cdot 1}$
$2 = \sqrt{k}$
Возведем обе части в квадрат:
$2^2 = (\sqrt{k})^2$
$k = 4$
Проверим по точке $(4; 4)$: $4 = \sqrt{4 \cdot 4} = \sqrt{16}$, что верно. Таким образом, уравнение функции имеет вид $y = \sqrt{4x}$.
Ответ: $y = \sqrt{4x}$.